Procesul Poisson

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 noiembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Procesul Poisson , fluxul Poisson , procesul Poisson [1] este un flux obișnuit de evenimente omogene , pentru care numărul de evenimente din intervalul A nu depinde de numărul de evenimente din niciun interval care nu se intersectează cu A și se supune Distribuția Poisson . În teoria proceselor aleatorii , descrie numărul de evenimente aleatoare care au avut loc, care au loc la o intensitate constantă.

Proprietățile probabilistice ale curgerii Poisson sunt complet caracterizate de funcția Λ(A) egală cu creșterea în intervalul A a unei funcții descrescătoare. Cel mai adesea, debitul Poisson are o valoare instantanee a parametrului λ(t) , care este o funcție în punctele de continuitate a cărei probabilitate a unui eveniment de curgere în intervalul [t,t+dt] este egală cu λ( t)dt . Dacă A este un segment [a,b] , atunci

\Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt

Debitul Poisson pentru care λ(t) este egal cu constanta λ se numește cel mai simplu flux cu parametrul λ . [2]

Fluxurile Poisson sunt definite pentru multidimensional și, în general, orice spațiu abstract în care poate fi introdusă măsura Λ(A) . Un flux staționar Poisson într-un spațiu multidimensional este caracterizat de o densitate spațială λ . În acest caz, Λ(A) este egal cu volumul regiunii A , înmulțit cu λ .

Clasificare

Există două tipuri de procese Poisson: simple (sau pur și simplu: proces Poisson) și complexe (generalizate).

Un simplu proces Poisson

Lasă . Un proces aleatoriu se numește proces Poisson omogen cu intensitate dacă $\lambda>0$ $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $\lambda$

$X_{0}=0$ aproape sigur .
$\{X_{t}\}$ este un proces cu incremente independente .
$X_{t}-X_{s}\sim \ \mathrm {P} (\lambda (ts))$ pentru orice , unde denotă distribuția Poisson cu parametrul . $0\leq s<t<\infty$ $\mathrm {P} (\lambda(ts))$ $\lambda (ts)$

Proces Poisson complex (generalizat)

Fie o succesiune de variabile aleatoare distribuite identic independent reciproc . $\xi _{1},...,\xi _{n}$
Fie un proces Poisson simplu cu intensitate , independent de succesiune . $N(t)$ $\lambda$ $\xi _{1},...,\xi _{n}$

Se notează prin suma primelor k elemente ale șirului introdus. $S_{k}$

Apoi definim procesul complex Poisson ca . $\{YT}\}$ $S_{N(t)}$

Proprietăți

Timpul dintre timpii de salt sunt independenți și au o distribuție exponențială ${\text{Exp}}(\lambda )$ .
Procesul Poisson acceptă numai valori întregi nenegative și mai mult

\mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0, 1,2,\ldots

adică momentul celui de-al- lea salt are o distribuție gamma . $k$ ${\text{Γ}}(\lambda,k)$

Traiectoriile procesului Poisson sunt funcții constante pe bucăți, continue drepte, nedescrescătoare, cu salturi egale cu unul aproape sigur. Mai precis

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)

la ,

h\la 0

unde înseamnă „ aproximativ mic ”. $Oh)$

Criterii

Pentru ca un proces aleatoriu cu timp continuu să fie Poisson (simplu, omogen) sau identic nul, este suficient ca următoarele condiții să fie îndeplinite: $\{X_{t}\}$

$X_{0}=0$ .
Procesul are incremente independente.
Procesul este uniform.
Procesul acceptă valori întregi nenegative.
$P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)$ la . $h\searrow 0$

Proprietățile informațiilor [3]

Fie timpii de salt ai procesului Poisson. . $\tau _{1},\dots ,\tau _{n}$ $T=\tau _{j}-\tau _{j-1}$

Depinde de partea anterioară a traiectoriei? - ? $T$
$\mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})$

Lasă . $u(t)=\mathbb {P} (T>t)$

$u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)))={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)))$
$u(t\mid s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\mid s)=s(t)\Săgeată la stânga la dreapta u(t)=e^{-\alpha t}$ .
Distribuția lungimilor intervalelor de timp dintre salturi are proprietatea lipsei de memorie ⇔ este exponențială .

Luați în considerare un segment pe axa timpului. $[a,b]$

$X(b)-X(a)=n$ este numărul de sărituri de pe segment . Distribuția condiționată a momentelor de sărituri coincide cu distribuția seriei variaționale construite dintr-un eșantion de lungime de la . $[a,b]$
$\tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n$ $n$ $R[a,b]$

Densitatea acestei distribuții $f_{\tau _{1},\dots,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(ba)^{n}}}\mathbb {I} (a \leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)$

Teorema limitei centrale

Teorema.

$\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\biggr )}{\underset {\lambda t\to \ infty }{\overset {x}{\rightrightarrows }}}\Phi (x)\sim N(0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\ infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}du$

Rata de convergență : , unde este constanta Berry-Esseen .
$\sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\ biggr )}-\Phi (x){\biggr |}\leqslant {\frac {C_{0)){\sqrt {\lambda t))}$
$C_{0}$

Aplicație

Fluxul Poisson este folosit pentru a simula diferite fluxuri reale: accidente, fluxul de particule încărcate din spațiu, defecțiuni ale echipamentelor și altele. Poate fi folosit și pentru a analiza mecanisme financiare, cum ar fi fluxul de plăți și alte fluxuri reale. Pentru a construi modele ale diferitelor sisteme de servicii și a analiza adecvarea acestora.

Utilizarea fluxurilor Poisson simplifică foarte mult soluționarea problemelor sistemelor de așteptare legate de calcularea eficienței acestora. Dar înlocuirea nerezonabilă a fluxului real cu fluxul Poisson, acolo unde acest lucru este inacceptabil, duce la greșeli grave de calcul.

Literatură

Gardiner KV Metode stocastice în științele naturii. — M .: Mir, 1986. — 528 p.
van Kampen NG Procese stocastice în fizică și chimie. - M . : Şcoala superioară, 1990. - 376 p.
procesele Kingman J. Poisson. - M. : MTSNMO, 2007. - 136 p.

Note

↑ „ Enciclopedia matematică ” / Redactor șef I. M. Vinogradov. - M . : „Enciclopedia Sovietică”, 1979. - T. 4. - 1104 p. - 148.800 de exemplare.
↑ Dicționar de cibernetică / Editat de academicianul V. S. Mikhalevich . - al 2-lea. - Kiev: Ediția principală a Enciclopediei sovietice ucrainene numită după M.P.Bazhan, 1989. - S. 534. - 751 p. - (C48). — 50.000 de exemplare. - ISBN 5-88500-008-5 .
↑ Shestakov Oleg Vladimirovici. Note de curs pe tema „Modele probabilistice”, Cursul 7 . (Rusă)