Distribuție condiționată

O distribuție condiționată în teoria probabilității este distribuția unei variabile aleatoare cu condiția ca o altă variabilă aleatoare să ia o anumită valoare.

Definiții

Vom presupune că este dat un spațiu de probabilitate . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$

Variabile aleatoare discrete

Fie și variabile aleatoare astfel încât vectorul aleator să aibă o distribuție discretă dată de funcția de probabilitate . Lasă așa că . Apoi funcția $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $p_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} (Y=y_{0})>0$

p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,Y}(x,y_{0} ) \over p_{Y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}

unde este funcția de probabilitate a unei variabile aleatoare , se numește funcție de probabilitate condiționată a unei variabile aleatoare cu condiția ca . Distribuția dată de funcția de probabilitate condiționată se numește distribuție condiționată. $p_{Y}$ $Y$ $X$ $Y=y_{0}$

Variabile aleatoare absolut continue

Fie și variabile aleatoare astfel încât vectorul aleator să aibă o distribuție absolut continuă dată de densitatea de probabilitate . Fie astfel încât , unde este densitatea variabilei aleatoare . Apoi funcția $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ $f_{Y}(y_{0})>0$ $f_{Y}$ $Y$

f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}

se numește densitatea de probabilitate condiționată a unei variabile aleatoare cu condiția ca . Distribuția dată de densitatea de probabilitate condiționată se numește distribuție condiționată. $X$ $Y=y_{0}$

Proprietăți ale distribuțiilor condiționate

Funcțiile de probabilitate condiționată și densitățile de probabilitate condiționată sunt funcții de probabilitate și, respectiv, densitățile de probabilitate, adică îndeplinesc toate condițiile necesare. În special,

$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,
$\sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

și

$f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0$ aproape peste tot $\mathbb {R} ^{m+n}$
$\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

Formulele probabilității totale sunt valabile :

$p_{X}(x)=\sum \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)$ ,
$f_{X}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,dy$ .

Dacă variabilele aleatoare și sunt independente , atunci distribuția condiționată este egală cu cea necondiționată: $X$ $Y$

p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}

f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=f_{X}(x)

aproape peste tot pe .

\mathbb {R} ^{m}

Probabilități condiționate

Variabile aleatoare discrete

Dacă este un subset numărabil , atunci $A$ $\mathbb {R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})

Variabile aleatoare absolut continue

Dacă este o submulțime Borel a lui , atunci prin definiție punem $A\în {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})$ $\mathbb {R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx

Cometariu. Probabilitatea condiționată din partea stângă a egalității nu poate fi definită în mod clasic, deoarece . $\mathbb {P} (Y=y_{0})=0$

Așteptări condiționate

Variabile aleatoare discrete

Așteptarea matematică condiționată a unei variabile aleatoare în condiția este obținută prin însumarea în raport cu distribuția condiționată: $X$ $Y=y_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\,p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})

Așteptarea matematică condiționată în condiția unei variabile aleatoare este a treia variabilă aleatoare dată de egalitate $X$ $Y$ $\mathbb {E} [X\mid Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega

Variabile aleatoare absolut continue

Așteptarea matematică condiționată a unei variabile aleatoare în condiția este obținută prin integrarea în raport cu distribuția condiționată: $X$ $Y=y_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0 })\,dx

Așteptarea matematică condiționată în condiția unei variabile aleatoare este a treia variabilă aleatoare dată de egalitate $X$ $Y$ $\mathbb {E} [X\mid Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega

Vezi și

Așteptarea condiționată