Fascicul de matrice

Un creion cu matrice este o funcție a unui argument complex care returnează o combinație pentru un set dat de matrici diferite de zero : $L(\lambda )$ $A_{0},A_{1},\dots ,A_{l)$

L(\lambda)=\sum _{i=0}^{l}\lambda ^{i}A_{i)

( numit gradul snopului ). $l$

Un caz special este un creion liniar de matrici cu (sau ), unde matricele și sunt matrici complexe (sau reale) [ 1] . Un astfel de fascicul este notat pe scurt ca . $A-\lambda B\,$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $A$ $B$ $n\ ori n$ $(A,B)$

Un pachet se numește regulat dacă există cel puțin o valoare pentru care . Valorile proprii ale unui creion de matrici se numesc toate numerele complexe pentru care (prin analogie cu valorile proprii ale matricelor). Setul de valori proprii se numește spectru fascicul și este scris ca . Se spune că un creion are (una sau mai multe) valori proprii la infinit dacă are (una sau mai multe) valori proprii zero. $\lambda$ $\det(A-\lambda B)\neq 0$ $(A,B)$ $\lambda$ $\det(A-\lambda B)=0$ $\sigma (A,B)$ $B$

Dacă două matrice comută ( ), atunci snopiul format de ele îndeplinește una dintre următoarele condiții [2] : $AB=BA$

constă numai din matrici asemănătoare celei diagonale,
nu are matrice asemănătoare cu cea diagonală,
are exact o matrice de tip diagonală.

Snopii de matrice joacă un rol important în metodele numerice ale algebrei liniare . Problema găsirii fasciculelor proprii se numește problema generalizată a găsirii valorilor proprii . Cea mai comună metodă de rezolvare a acestei probleme este algoritmul QZ , care este o versiune implicită a algoritmului QR pentru rezolvarea problemei cu valori proprii cuplate fără formarea explicită a matricei (care poate fi imposibilă sau prost condiționată dacă este degenerată sau aproape degenerată). $B^{-1}Ax=\lambda x$ $B^{-1}A$ $B$

Note

↑ Golub, Van Loan, 1999 , p. 375.
↑ Marcus, Minc, 1969 , p. 79.

Literatură

J. Golub, C. Van Lone. Calculele matriceale. - Moscova: Mir, 1999. - ISBN 5-03-002406-9 .
Marvin Marcus, Henryk Minc. Un studiu al teoriei matriceale și al inegalităților matriceale. - New York: Dover Publications, 1969. - ISBN 0-486-67102-X .