Descompunerea Schur

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 mai 2020; verificările necesită 2 modificări .

Descompunerea Schur - descompunerea unei matrice în matrici unitare , triunghiulare superioare și unitare inverse , numită după Isai Schur .

Declarație

Dacă este o matrice pătrată de ordine cu elemente complexe , atunci poate fi reprezentată ca [1] [2] : $A$ $n$

A=QUQ^{-1}

unde este o matrice unitară (deci inversul său este o matrice conjugată Hermitiană ) și este o matrice triunghiulară superioară , care se numește forma Schur a matricei . Deoarece este similar cu o matrice , are același multiset de valori proprii și, deoarece este triunghiulară, aceste valori proprii sunt aceleași cu elementele diagonale ale matricei . $Q$ $Q^{-1}$ $Q^{*}$ $Q$ $U$ $A$ $U$ $A$ $U$

Din descompunerea Schur rezultă că există o secvență încorporată de subspații -invariante și o bază ortogonală ordonată astfel încât o combinație liniară a vectorilor de bază primă dă pentru toți din secvență. Cu alte cuvinte, prima parte spune că o mapare liniară pe un spațiu vectorial complex de dimensiuni finite stabilizează întregul steag . $A$ $\{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}=\mathbb {C} ^{n)$ $i$ $V_i$ $i$ $J$ $V_{1},\dots V_{n}$

Dovada

O dovadă constructivă a descompunerii Schur este următoarea: orice operator pe un spațiu vectorial complex de dimensiuni finite are o valoare proprie corespunzătoare spațiului propriu . Să fie un complement ortonormal. Cu o astfel de descompunere ortogonală , are o reprezentare matriceală (puteți alege orice baze ortonormale și pentru spațiile acoperite de acestea și respectiv): $A$ $\lambda$ $V_{\lambda }$ $V_{\lambda }^{\perp }$ $A$ $\mathbb {Z} _{1}$ $\mathbb{Z } _{2}$ $V_{\lambda }$ $V_{\lambda }^{\perp }$

{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{ \lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}

unde este operatorul de identitate pe . Matricea rezultată este triunghiulară, cu excepția blocului . Dar exact aceeași procedură poate fi efectuată pentru submatrice , care este considerată ca un operator pe și submatricele sale. Continuând procedura o singură dată, spațiul va fi epuizat și construcția va da rezultatul dorit. $I_{\lambda }$ $V_{\lambda }$ $A_{2\,2}$ $A_{2\,2}$ $V_{\lambda }^{\perp }$ $n$ $\mathbb {C} ^{n}$

Caracteristici

Deși orice matrice pătrată are o descompunere Schur, în general o astfel de descompunere nu este unică. De exemplu, un spațiu propriu poate avea o dimensiune mai mare decât 1, caz în care orice bază ortonormală va da rezultatul dorit. $V_{\lambda }$ $V_{\lambda }$

O matrice triunghiulara poate fi reprezentata ca suma unei matrice diagonale si a uneia triunghiulare strict superioare : . O matrice triunghiulară strict superioară este nilpotentă . Matricea diagonală conține valorile proprii ale matricei în ordine aleatorie. Nici partea nilpotentă nu este, în general, unică, dar norma sa Frobenius este determinată în mod unic de matrice , deoarece norma Frobenius a matricei este egală cu norma Frobenius a matricei . $U$ $D$ $N$ $U=D+N$ $D$ $A$ $N$ $A$ $A$ $U=D+N$

Dacă este normal , atunci forma lui Schur este diagonală , iar coloanele matricei de descompunere vor fi vectori proprii ai matricei . Descompunerea Schur generalizează astfel descompunerea spectrală . În special, dacă este definit pozitiv , descompunerea lui Schur, descompunerea sa spectrală și descompunerea sa singulară sunt aceleași. $A$ $U$ $Q$ $QUQ^{-1}$ $A$ $A$

O familie comutativă de matrice poate fi redusă la o formă triunghiulară în același timp, adică există o matrice unitară astfel încât pentru oricare din familia dată este triunghiulară superioară. Afirmația finală este dovedită prin inducție. Ca o consecință, orice familie comutativă de matrice normale poate fi redusă la o formă diagonală [3] . $\{A_{i}\}$ $Q$ $A_{i}$ $QA_{i}Q^{*}$

În cazul cu dimensiuni infinite, nu orice operator mărginit dintr- un spațiu Banach are un subspațiu invariant . Cu toate acestea, triunghiularea unei matrice pătrate arbitrare se generalizează la operatori compacti . Orice operator compact dintr-un spațiu Banach are un cuib de subspații invariante închise.

Calcul

Descompunerea Schur a unei anumite matrice este realizată de algoritmul QR sau de variantele acestuia. Cu utilizarea unor astfel de algoritmi pentru descompunerea Schur, nu este nevoie să precalculați rădăcinile polinomului caracteristic corespunzător matricei. Dimpotrivă, algoritmul QR poate fi utilizat pentru a calcula rădăcinile oricărui polinom caracteristic dat, găsind descompunerea Schur a matricei sale însoțitoare . În același mod, algoritmul QR este utilizat pentru a calcula valorile proprii ale oricărei matrice date care sunt elementele diagonale ale matricei triunghiulare superioare de descompunere Schur. Toți algoritmii necesari sunt implementați, în special, în biblioteca Lapack [4] .

Aplicații

Câteva rezultate importante ale teoriei Lie rezultă din descompunerea Schur în special:

orice operator inversabil este conținut într- un subgrup Borel ,
orice operator fixează un punct pe steag-ul colectorului .

Descompunerea generalizată Schur

Descompunerea generalizată Schur a două matrici pătrate și este o pereche consistentă de descompunere a ambelor matrici și , unde și sunt unitare și și sunt triunghiulare . Descompunerea generalizată Schur este uneori numită și descompunerea QZ . $A$ $B$ $A=QSZ^{*}$ $B=QTZ^{*}$ $Q$ $Z$ $S$ $T$

Valorile proprii generalizate care rezolvă problema valorii generalizate (unde este un vector necunoscut diferit de zero) pot fi calculate ca raport dintre elementele diagonale și elementele corespunzătoare ale . Adică, -a-a valoare proprie generalizată satisface egalitatea . $\lambda$ $Ax=\lambda Bx$ $X$ $S$ $T$ $i$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii)$

Note

↑ R. A. Horn, C. R. Johnson. analiza matriceală. - Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-38632-2 . )
↑ G.H. Golub, C.F. Van Loan. Calcule matriceale. — al 3-lea. - Johns Hopkins University Press, 1996. - ISBN 0-8018-5414-8 .
↑ Descompunerea Schur (engleză) // Wikipedia. — 17.03.2020.
↑ E. Anderson. Ghidul utilizatorului LAPACK. - Al treilea. - Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. - ISBN 0-89871-447-8 .

Literatură

V. V. Prasolov. Probleme și teoreme ale algebrei liniare. - al 2-lea. — Moscova, 2008. — P. 226-227 (3.7.1. Descompunerea Schur), 498 (9.3.5. Descompunerea Schur).