Raza de injectivitate

Raza de injectivitate este dimensiunea vecinătății maxime perforate a unui punct din varietatea Riemanniană completă , pe care distanța până la acest punct este o funcție netedă.

Raza de injectivitate a unei întregi varietăți riemanniene este definită ca cea mai mică infimă dintre razele de injectivitate în toate punctele sale.

Raza de injectivitate într-un punct al unei varietăți riemanniene este de obicei notă cu sau . Raza de injectivitate a întregului soi se notează ca . $p$ $M$ $i_{p}$ $i_{p}(M)$ $i(M)$

Definiție precisă

Raza de injectivitate într-un punct al unei varietăți Riemanniane este cea mai mare rază a unei bile în spațiul tangent, restricția la care a unei mapări exponențiale este un difeomorfism . $p$ $\exp _{p}$ $p$

Proprietăți

Raza de injectivitate este semicontinuă superioară și pozitivă.

Raza de injectivitate la un punct este egală cu distanța de la punct la secțiunea sa .

Pentru varietăți riemanniene complete, dacă raza de injectivitate într-un punct este un număr finit , atunci există o buclă geodezică de lungime care începe și se termină la , sau există un punct conjugat la și la o distanță de . $p$ $R$ $2\cdot R$ $p$ $q$ $p$ $R$ $p$

Pentru varietățile riemanniene închise, raza de injectivitate este egală cu jumătate din lungimea minimă a unei geodezice închise, adică distanța minimă dintre punctele conjugate pe o geodezică.

Literatură

Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Introducere în geometria riemanniană. - Sankt Petersburg. : Nauka, 1994. - 318 p.