Afișare exponențială

Cartografiere exponențială - departe[ clarifica ] o generalizare curentă a funcției exponențiale în geometria riemanniană .

Pentru o varietate Riemanniană , maparea exponențială acționează de la pachetul tangent la varietatea în sine . $M$ $TM$ $M$

Maparea exponențială este de obicei notă și restricția sa la spațiul tangent într-un punct este notă și numită mapare exponențială într-un punct . $\exp \colon TM\to M$ $T_{p}M$ $p\în M$ $\exp _{p}\colon T_{p}M\la M$ $p$

Definiție

Fie o varietate Riemanniană și . Pentru fiecare vector , există o ieșire geodezică unică din punctul (adică ) astfel încât . $M$ $p\în M$ $v\in T_{p}M$ $\gamma _{v}(t)$ $p$ $\gamma _{v}(0)=p$ $\gamma _{v}'(0)=v$

Maparea exponențială a unui vector este punctul , sau . $v$ $\gamma _{v}(1)\în M$ $\exp v=\gamma _{v}(1)$

Proprietăți

$\exp _{p}(0)=p$ .

Pentru fiecare punct există un număr astfel încât maparea exponențială este definită pentru toți vectorii care îndeplinesc condiția . $p\în M$ $\varepsilon >0$ $\exp _{p}$ $v\in T_{p}M$ $|v|\leq \varepsilon$
- Mai mult, este un difeomorfism al unei vecinătăți de zero în spațiul tangent la o vecinătate a unui punct din varietatea . Astfel, într-o anumită vecinătate a unui punct de varietate , este definită o mapare exponențială inversă (numită logaritm și notată cu ), care acționează într-o anumită vecinătate a zeroului spațiului tangentei . $\exp _{p}$ $T_{p}M$ $p$ $M$ $p$ $M$ $\log _{p}$ $T_{p}M$

Într -o varietate Riemanniană completă metric , o hartă exponențială este definită pentru orice vector tangent ( teorema Hopf–Rinow ).

Diferenţialul mapării exponenţiale în orice punct este operatorul liniar de identitate . Acesta este $p$ $(d_{p}\exp _{p})(v)=v$

pentru orice . Aici identificăm spațiul tangent cu el însuși.

v\in T_{p}M

T_{p}M

( Lema lui Gauss despre geodezice ) Pentru orice $x,v\in T_{p}$ $g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,$

unde denotă diferenţialul mapării exponenţiale.

d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\la T_{\exp _{p}x)

Pentru grupurile Lie cu o metrică bi-invariantă, maparea exponențială coincide cu exponențialul obișnuit teoretic de grup.

Link -uri

A. V. Cernavski . Prelegeri despre geometria diferențială clasică (CAPITOLUL 10)

Literatură

B. A. Dubrovin, S. P. Novikov, A. T. Fomenko geometria modernă. - Orice ediție.
A. S. Mișcenko, A. T. Fomenko . Curs de geometrie diferenţială şi topologie. - Orice ediție.
M. M. Postnikov . Teoria variațională a geodezicilor. - Orice ediție.