Teorema comparației Toponogov

Teorema de comparație a lui Toponogov este o teoremă clasică a geometriei riemanniene în general.

În cazul bidimensional, teorema a fost demonstrată de Paolo Pizzetti [1] . Opera sa a trecut neobservată timp de un secol. [2] Teorema a fost respinsă independent de Aleksandr Danilovici Aleksandrov [3] și generalizată de Viktor Andreevici Toponogov [4] la dimensiuni mai mari.

Definiții necesare

Pentru a formula teorema, avem nevoie de câteva definiții. Fie o varietate Riemanniană completă de cel puțin 2 dimensiuni și cu o curbură în secțiune nu mai mică decât o constantă . $M$ $\kappa$

Se notează prin planul de curbură al modelului . La , acesta este planul euclidian, la , este izometric față de suprafața unei sfere cu rază , iar la , este planul de curbură Lobachevsky . ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\kappa$ $\kappa=0$ $\kappa >0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ ${\tfrac 1{{\sqrt {\kappa ))))$ $\kappa<0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\kappa$

Un triunghi în este un triplu al celor mai scurte căi care leagă trei puncte în perechi. În acest caz, fiecare dintre cele trei puncte se numește vârful triunghiului, iar unghiul dintre perechea de puncte cele mai scurte care ies din vârf se numește unghi la acest vârf. $M$

Să fie un triunghi în . Să presupunem că există un triunghi cu laturile corespunzătoare egale și, în plus, un astfel de triunghi este unic până la congruență. În acest caz, triunghiul se numește triunghiul model al triunghiului în . $\triunghi$ $M$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ $\triunghi$ $M$

Rețineți că triunghiul model este întotdeauna definit dacă . În caz , acest lucru este adevărat dacă perimetrul este strict mai mic decât . ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ $\kappa \leq 0$ $\kappa >0$ $\triunghi$ $2\cdot \pi /{\sqrt {\kappa }}$

Să fie un triunghi model în . Să definim unghiul modelului ca măsură unghiulară . $\triangle {\tilde x}{\tilde y}{\tilde z}$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\triunghi xyz$ $M$ ${\tilde \measuredangle }_{\kappa }xyz$ $\measuredangle {\tilde x}{\tilde y}{\tilde z}$

Formulare

Teorema. Fie o varietate Riemanniană completă și cu curbură în secțiune nu mai mică decât o constantă . Atunci unghiurile oricărui triunghi din M nu sunt mai mici decât unghiurile corespunzătoare ale triunghiului său model . Cu alte cuvinte $M$ $\kappa$ $\triunghi$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$

{\tilde \measuredangle }_{\kappa }xyz\leq \measuredangle xyz

pentru orice triunghi . $\triunghi xyz$

Consecințele

Să presupunem că este o varietate Riemanniană completă cu curbură secțională nenegativă. Apoi, pentru orice punct , funcția este 2-concavă; adică, pentru orice geodezică normală , funcția este concavă. $M$ $p\în M$ $f(x)=|px|_{M}^{2}$ $\gamma$ $t\mapsto f\circ \gamma (t)-t^{2}$

Variații și generalizări

Teorema inversă este de asemenea adevărată, adică dacă comparația unghiurilor este adevărată pentru orice triunghi dintr-o varietate Riemanniană, atunci are curbură cel puțin . $M$ $M$ $\kappa$

Pentru fiecare punct x de pe latura triunghiului , notați cu punctul corespunzător de pe latura . Atunci afirmația teoremei este echivalentă cu următoarea inegalitate $\triunghi$ ${\tilde x}$ ${\tilde \triangle }\kappa$ $|{\tilde x}-{\tilde y}|_{({\mathbb M}_{\kappa ))}\leq |xy|_{M}$

unde denotă distanța dintre puncte și într-o varietate riemanniană .

|xy|_{M}

X

y

M

Afirmația teoremei este echivalentă cu următoarea inegalitate ${\tilde \measuredangle }_{\kappa }xpy+{\tilde \measuredangle }_{\kappa }ypz+{\tilde \measuredangle }_{\kappa }zpx\leq 2\cdot \pi$

pentru patru puncte arbitrare

p,x,y,z\în M

Vezi și

Teorema comparației Rauch

Literatură

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Geometria riemanniană în general, Mir, 1971, p. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introducere în geometria riemanniană. - Sankt Petersburg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .

Link -uri

↑ Pizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali 16(1), 1907, 6–11.
↑ Pambuccian, Victor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: inițiatorul uitat al geometriei comparației triunghiulare. Istoria Math. 38 (2011), nr. 3, 415-422.
↑ A.D. Aleksandrov, Geometria internă a suprafețelor convexe, Moscova-Leningrad, Gostekhizdat, 1948.
↑ V. A. Toponogov, Spații de curbură riemanniene delimitate de sub Uspekhi Mat. Nauk, 14:1(85) (1959), 87–130