Cincizeci și nouă de icosaedre

The Fifty -Nine Icosahedra este o  carte scrisă și ilustrată de Harold Coxeter , Patrick du Val , H. T. Flaser și J. F. Petrie. Cartea enumeră câteva forme stelare ale icosaedrelor convexe ( platonice ) regulate , construite după un set de reguli propuse de J. C. P. Miller .

Cartea a fost publicată de University of Toronto Press în 1938. O a doua ediție a fost publicată de Springer-Verlag în 1982. Keith și David Crennell au rescris complet textul și au redesenat filele și diagramele pentru cea de-a treia ediție (Tarquin) în 1999 și au adăugat noi materiale de referință și fotografii.

Contribuții ale autorului

Regulile lui Miller

Deși J. C. P. Miller nu a scris direct cartea, a fost un coleg apropiat cu Coxeter și Petrie. Contribuțiile sale sunt imortalizate în setul său de reguli pentru a determina ce stelări pot fi considerate „esențiale și distincte”:

1. Fețele trebuie să se afle pe douăzeci de planuri, adică pe planurile de delimitare ale unui icosaedru regulat.
2. Toate părțile care alcătuiesc fețele trebuie să fie aceleași în fiecare plan, chiar dacă sunt complet separate.
3. Părțile care aparțin oricărui (un) plan trebuie să aibă simetrie trigonală cu sau fără reflexie. Aceasta oferă simetrie icosaedrică pentru întregul corp.
4. Piesele care aparțin oricărui plan trebuie să fie toate „accesibile” în corpul rezultat (adică trebuie să fie „exterioare”. În unele cazuri trebuie să construim modele uriașe pentru a vedea toate piesele. Pentru modelele de dimensiuni normale, unele piese, deși sunt „externe”, pot fi detectate doar de insectele târâtoare).
5. Cazurile sunt excluse din considerare atunci când părțile pot fi împărțite în două seturi, care dau individual un corp cu o simetrie mai mare decât figura în sine. Dar permitem unirea unei perechi enantiomorfe care nu are părți comune (de fapt, acest lucru se întâmplă doar într-un caz).

Primele trei reguli corespund cerințelor de simetrie pentru planurile feței. Regula 4 exclude cavitățile interne, asigurându-se că nu există două forme de stele să arate identice. Regula 5 exclude orice componente incoerente ale formelor mai simple.

Coxeter

Coxeter a fost principala forță motrice din spatele lucrării. El a efectuat analize bazate pe regulile lui Miller, folosind o serie de tehnici precum combinatoria și teoria abstractă a grafurilor , a căror aplicare în geometrie era nouă la acea vreme.

El a observat că diagrama unei stele conține multe segmente. Apoi a dezvoltat o procedură de lucru cu combinații de regiuni plate adiacente pentru a enumera în mod oficial combinațiile care se încadrează sub regulile lui Miller.

Graficul prezentat aici arată conectivitatea diferitelor fețe reprezentate în diagrama stea (vezi mai jos). Literele grecești definesc un set de opțiuni posibile:

Du Val

Du Val a conceput notația simbolică pentru seturi de celule congruetate pe baza observației că acestea se află pe o „cochilie” în jurul icosaedrului original. Pe baza acestui fapt, el a testat toate combinațiile posibile împotriva regulilor lui Miller, confirmând rezultatele abordării mai analitice a lui Coxeter.

Flazer

Contribuția lui Flaser nu a fost directă - a făcut modele din carton pentru toate cele 59 de poliedre. Înainte de a-l întâlni pe Coxeter, el făcuse deja multe forme de stele, inclusiv niște poliedre care nu se încadrau sub regulile lui Miller. A continuat să lucreze la crearea unei serii complete, care este stocată în biblioteca de matematică a Universității din Cambridge (Anglia). Biblioteca deține și câteva modele non-milleriene, dar nu se știe dacă au fost realizate ulterior de studenții lui Flaser sau Miller [1] .

Petri

John Flinders Petrie, un vechi prieten al lui Coxeter, avea o abilitate remarcabilă de a reprezenta figuri în spațiul cu patru dimensiuni. El și Coxeter au lucrat împreună la multe probleme matematice. Contribuția sa directă la carte constă în numeroasele desene tridimensionale perfecte care oferă farmecul cărții.

Krennels

Pentru cea de-a treia ediție, Keith și David Crennell au revizuit complet textul și au redesenat ilustrațiile și inserțiile. Ei au adăugat, de asemenea, o secțiune de referință care conține tabele, diagrame și fotografii ale unora dintre modelele Cambridge (care la acea vreme erau toate de Flazer). Indexul a inclus toate cele 59 de poliedre, numerotate succesiv în ordinea în care au apărut în carte. În timpul procesului de editare s-au strecurat mai multe erori. Fișier PDF cu pagini corectate disponibil online.

Lista cu cincizeci și nouă de icosaedri

Înainte de Coxeter, numai Brückner și Wheeler au descris câteva seturi semnificative de stelare, deși unele, cum ar fi marele icosaedru, sunt cunoscute înainte. În urma publicării unei cărți despre 59 de icosaedri, Wenninger a publicat instrucțiuni pentru construirea unora dintre modelele din serie. Schema de numerotare adoptată în cartea sa a devenit utilizată pe scară largă, deși a dat doar câteva forme stelare.

Note

Numerotarea este de către Krennels, dacă nu se specifică altfel.

Krennels

• În numerotarea pe care Krennel a adăugat-o în a treia ediție, primele 32 de modele (numerele 1-32) sunt simetrice în oglindă , iar ultimele 27 (numerele 33-59) sunt chirale și numai forma din dreapta este dată în carte. Numerotarea corespunde ordinii în care poliedrele apar în carte.

VRML

• Link către fișierele grafice VRML 3D realizate de Hart .

celule

• Dacă legați orice punct din spațiu printr-un segment cu centrul icosaedrului și numărați numărul de intersecții ale segmentului cu planele fețelor icosaedrului, obțineți nivelul punctului (fără numărarea planului pe care punctul însuși poate fi). Toate punctele cu un nivel care nu depășește o anumită valoare formează un poliedru . Pentru un icosaedru obișnuit, sunt posibile 8 astfel de poliedre, care sunt notate cu majuscule A , B , C , …, H , unde A  este icosaedrul original (nivel 0). Există puncte cu niveluri 8 și mai mari, dar razele corespunzătoare merg la infinit și astfel de puncte nu sunt luate în considerare.
• Punctele de același nivel formează o coajă . În notația lui Du Val, cochiliile sunt numerotate cu aceleași litere ca și poliedrele, dar cu majuscule. Cochiliile sunt formate din celule .
• Unele celule sunt împărțite în două tipuri, li se dau indici. De exemplu , grupul e include celulele e1 şi e2 . Mulțimea f 1 este subdivizată în continuare în forme dreapta și stânga, care sunt notate cu f 1 (litera obișnuită) și f 1 (oblică). Acolo unde sunt prezente toate nivelurile, acestea sunt scrise cu majuscule, înlocuind întreaga secvență, de exemplu, a + b + c + e 1 se scrie ca Ce 1 .

Fațete

• Toate formele de stele pot fi definite printr -o diagramă de stele . În diagrama de mai sus, zonele colorate numerotate arată părțile care trebuie să apară împreună ca un întreg dacă se dorește să se obțină o simetrie icosaedrică completă. Diagrama conține 13 astfel de seturi. Unele dintre ele se subdivid în perechi chirale (nu sunt prezentate), dând forme de stele cu simetrie de rotație, dar nu cu simetrie în oglindă. În tabel, fețele care sunt vizibile de jos sunt indicate printr-un apostrof, de exemplu, 3' .

Wenninger

• Numerele și numele numerotate corespund ordinii de apariție din cartea lui M. Wenninger Models of Polyhedra . Ordinea este în general aleatorie (aleasă în mod arbitrar de editorii cărții) și nu are niciun sens matematic. Doar câteva modele din cartea lui Wenninger sunt icosaedre. Numele lor sunt date într-o formă prescurtată, cuvintele „... icosaedru” sunt omise (de exemplu, în loc de „A doua stelare a icosaedrului” din tabel este „A doua stelare a icosaedrului”).

Wheeler

• Wheeler și-a găsit figurile selectând segmente dintr-o diagramă de stele. El a îndepărtat cu grijă acest proces de stelare clasică a lui Kepler . Coxeter și colab. au ignorat aceste diferențe.

Brueckner

• Brückner a realizat și fotografiat modele ale multor poliedre, dintre care doar câteva erau icosaedre.

Note

• Nr. 8 este numit Echidnaedrul din cauza asemănării sale superficiale cu echidna acoperită cu ac . Acest nume nu este legat de descrierea lui Kepler a corpurilor Kepler -Poinsot ca echidne .

Tabelul cu cincizeci și nouă de icosaedri

Vezi și

• Lista modelelor de poliedre Wenninger -  Cartea lui Wenninger Models of Polyhedra include 21 de modele din această listă.
• Corpuri cu simetrie icosaedrică

Note

1. ↑ Adevărate stelare pierdute . Consultat la 14 noiembrie 2015. Arhivat din original la 13 martie 2016. (nedefinit)

Literatură

• Max Bruckner. Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte . - Leipzig: BG Treubner, 1900. - ISBN 978-1-4181-6590-1 .  (germană) Ediție în engleză: Polygons and Polyhedra: Theory and History .
• H.S.M. Coxeter , Patrick du Val H.T. Flather, J.F. Petrie. Cele cincizeci și nouă de icosaedre. - Studii la Universitatea din Toronto , 1938. - (seria matematică 6: 1-26.). Ediția a treia (1999) TarquinISBN 978-1-899618-32-3. (Engleză)
• Magnus J. Wenninger . Modele poliedrice. — Ediție broșată (2003). - Cambridge University Press , 1983. - ISBN 978-0-521-09859-5 .  (Engleză)
• M. Wenninger. modele de poliedre. - „Mir”, 1974.
• A. H. Wheeler. Anumite forme ale icosaedrului și o metodă pentru derivarea și desemnarea poliedrelor superioare. — Proceedings of the International Congress of Mathematiciens . - Toronto, 1924. - T. 1. - S. 701-708.  (Engleză)

Link -uri

• Exemple de stelare ale  icosaedrului
•  Cele cincizeci și nouă de stelări ale icosaedrului regulat
• Weisstein, Eric W. Cincizeci și nouă de stelări icosaedrice  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Echidnahedron  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
•  Stelații ale icosaedrului
• George Hart, 59 Stellations of the Icosahedron  - VRML 3D files. (Engleză)