Legătura poliedrelor

Un compus de poliedre este o figură alcătuită din niște poliedre având un centru comun. Conexiunile sunt omologii tridimensionali ale conexiunilor poligonale, cum ar fi hexagrama .

Vârfurile exterioare ale unei conexiuni pot fi conectate pentru a forma un poliedru convex , numit carcasă convexă . Conexiunea este o fațetă a carcasei convexe.

În cadrul compusului, un poliedru convex mai mic este format ca o parte comună a tuturor membrilor compusului. Acest poliedru este numit nucleul poliedrelor stelare .

Conexiuni adecvate

Legăturile poliedrice regulate pot fi definite ca conexiuni care, ca și în cazul poliedrelor regulate, sunt tranzitive de vârf , tranzitive de muchie și tranzitive de față [ . Există cinci conexiuni regulate de poliedre.

Cel mai cunoscut este compusul a două tetraedre . Kepler a numit acest compus în latină stella octangula (octaedru stelat). Vârfurile celor două tetraedre definesc un cub , iar intersecția lor este un octaedru , ale cărui fețe se află pe aceleași plane ca și fețele tetraedrelor constitutive. Astfel, conjuncția este o reducere la steaua octaedrului și, de fapt, singura sa reducere posibilă.

Octaedrul stelat poate fi văzut și ca un compus regulat dublu.

Un compus din cinci tetraedre are două versiuni în oglindă, care împreună dau un compus de zece tetraedre. Toți compușii tetraedrelor sunt auto-duali, iar compusul din cinci cuburi este dual cu compusul din cinci octaedre.

Compuși duali

Un compus dual este un compus dintr-un poliedru și dualul său, situat reciproc opus față de o sferă comună înscrisă sau semi-înscrisă, astfel încât muchia unui poliedru să intersecteze muchia duală a poliedrului dual. Există cinci astfel de compuși ai poliedrelor regulate.

Tetraedrul este auto-dual, astfel încât compusul dual al unui tetraedru cu dualul său este, de asemenea, un octaedru stelat.

Compușii duali cub-octaedru și dodecaedru-icosaedru sunt reduceri în stea ale cuboctaedrului și , respectiv , icosidodecaedrului .

Conjuncția dintre dodecaedrul mic stelat și dodecaedrul mare arată în exterior ca același dodecaedru stelat mic, deoarece dodecaedrul mare este conținut în întregime în el. Din acest motiv, imaginea micului dodecaedru stelat de mai sus este prezentată ca un cadru sârmă.

Compuși omogene

În 1976, John Skilling a publicat Uniform Compounds of Uniform Polyhedra [1] în care a enumerat 75 de compuși (inclusiv 6 seturi infinite de compuși prismatici , #20-25) obținuți din poliedre uniforme prin rotații. (Fiecare vârf este tranzitiv de vârf .) Lista include cinci compuși ai politopilor obișnuiți din lista de mai sus. [unu]

Acești 75 de compuși omogene sunt enumerați în tabelul de mai jos. În majoritatea compușilor, culori diferite corespund unor constituenți diferiți. Unele perechi chirale sunt colorate în funcție de simetria oglinzii.

• 1-19: Amestec (4,5,6,9,17 sunt cei cinci compuși corecti )

• 20-25: Simetria prismei încorporată în simetria diedrică în spațiul 3D ,

• 26-45: Simetria prismă imbricată în simetrie octaedrică sau icosaedrică ,

• 46-67: Simetria tetraedrică imbricată în simetria octaedrică sau icosaedrică,

• 68-75: cupluri enantiomorfe

Alte conexiuni

• Conectarea a trei octaedre
• Conectarea a patru cuburi

Două poliedre care sunt compuși, dar elementele lor sunt strict închise într-un icosidodecaedru compus mic (un compus dintr-un icosaedru și un dodecaedru mare ) și un icosidodecaedru compus mare (un compus dintr-un dodecaedru stea mic și un mare icosaedru ). Dacă acceptăm definiția generalizată a unui poliedru omogen , ele vor fi omogene.

Secțiunea de perechi entianomorfe din lista lui Skilling nu conține un compus din două dodecicosidodecaedre mari , deoarece fețele pentagramei coincid. Eliminarea fețelor care se potrivesc va avea ca rezultat o conexiune de douăzeci de octaedre .

Conexiuni patru-dimensionale

În spațiul cu patru dimensiuni, există un număr mare de conexiuni regulate de poliedre regulate. Coxeter a enumerat unele dintre ele în cartea sa Regular Polyhedra [2] .

Auto-dual:

Perechi duble:

Legături omogene cu poliedre bidimensionale convexe:

Poziții duble:

Conexiunea poliedrelor cu patru dimensiuni a stelei obișnuite

Conexiuni auto-duale stea:

Perechi duble de conjuncții de stele:

Compuși omogene ai stelelor :

Teoria grupurilor

În ceea ce privește teoria grupurilor , dacă G este grupul de simetrie a unui compus de politopi și grupul acționează tranzitiv asupra unui politop (deci orice politop poate fi în oricare altul, ca în compușii omogene), atunci dacă H este stabilizatorul unuia ales. politop, politopii pot fi definiți prin orbita G / H .

Conectarea mozaicurilor

Există optsprezece familii cu doi parametri de conexiuni de plăci regulate în planul euclidian. În spațiul hiperbolic sunt cunoscute cinci familii cu un parametru și șaptesprezece piese izolate, dar lista nu este completă.

Familiile euclidiene și hiperbolice 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p este întreg) sunt asemănătoare octaedrelor stelate sferice , 2 {3,3}.

O familie binecunoscută de conexiuni euclidiene regulate de fagure în spații de dimensiunea cinci și mai sus este o familie infinită de faguri hiperbolici care au vârfuri și fețe comune. O astfel de conexiune poate avea un număr arbitrar de celule în conexiune.

Există, de asemenea , conexiuni de plăci duble-regulate . Un exemplu simplu este conexiunea E 2 a unei plăci hexagonale și plăci triunghiulare duale . Legătura euclidiană a doi faguri hiperbolici este regulată și dual regulată.

Note

1. ↑ Skilling, 1976 , p. 447–457.
2. ↑ Coxeter, 1973 , p. 305, Tabelul VII.
3. ↑ Richard Klitzing, Uniform compound Stellated icosahedron Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine
4. ↑ Richard Klitzing, Uniform compound Demidistesseract Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine
5. ↑ Richard Klitzing, Uniform compound Dual positioned 24-cells Arhivat 2 aprilie 2016 la Wayback Machine

Literatură

• John Skilling. Compuși uniformi ai poliedrelor uniforme // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - T. 79 . - doi : 10.1017/S0305004100052440 . .
• P. Cromwell. Poliedre. - Regatul Unit: Cambridge, 1997. - p. 79–86 Solide arhimediene . - ISBN 0-521-55432-2 .
• Magnus Wenninger. Modele duble . - Cambridge: Cambridge University Press, 1983. - P.  51-53 . .
• Michael G Harman Compuși poliedrici. - manuscris inedit, 1974. .
• Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder. Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. - 1876. - T. 11. - S. 5–97.
• HSM Coxeter . Capitolul 8: Trunchiere // Politopi obișnuiți . — ediția a 3-a. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .

• Anthony Pugh. Poliedre: O abordare vizuală. - California: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . pagina 87 Cinci compuși obișnuiți

Link- uri externe

• MathWorld: Compus poliedric
• Poliedre compuse – din Virtual Reality Polyhedra
  • Compuși uniformi ai poliedrelor uniforme
• Cei 75 de compuși uniformi ai poliedrelor uniforme a lui Skilling
• Compușii uniformi ai poliedrelor uniforme a lui Skilling
• Compuși poliedrici
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Compus din dodecaedrul mic stelat și dodecaedrul mare {5/2,5}+{5,5/2}