Tensor simetric

În matematică și fizică teoretică , se spune că un tensor este simetric față de doi indici i și j dacă nu se modifică atunci când acești indici sunt interschimbați:

T_{ij\dots} = T_{ji\dots}

Dacă tensorul nu se schimbă atunci când vreo pereche de indici ai săi este permutată, atunci un astfel de tensor se numește absolut simetric .

Simetrizare și antisimetrizare

Pentru orice tensor U , cu componente , se poate construi un tensor simetric și antisimetric conform regulii: $U_{ij\dots}$

$U_{(ij)\dots}=\frac{1}{2}(U_{ij\dots}+U_{ji\dots})$ (partea simetrică),

$U_{[ij]\dots}=\frac{1}{2}(U_{ij\dots}-U_{ji\dots})$ (partea antisimetrică).

Termenul „parte” înseamnă că $U_{ij\dots}=U_{(ij)\dots}+U_{[ij]\dots}$

Pentru un număr mai mare de indici, simetrizarea poate fi definită și:

T_{(i_1i_2\dots i_r)} = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_r} T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_ {\sigma r}}\

notat de asemenea (pentru cazul efectuării sale asupra tuturor indicilor) prin simbolul : $\operatorname{Sym}$

(\operatorname{Sym}\,T)_{i_1i_2\dots i_r} = T_{(i_1i_2\dots i_r)}\

Cu toate acestea, pentru extinderea unui tensor de rang mai mare de doi, se dovedește că numai termenii absolut simetrici și absolut antisimetrici nu sunt suficienți.

Proprietăți

Exemple de tensori absolut simetrici

Rangul 0 - scalar (oricare),
Rangul 1 — vector/covector (oricare),
Locul 2:
- matrice simetrica ,
- (covariantă) este forma pătratică a lui .
Rangul arbitrar n — puterea tensorală n a oricărui vector/covector (doar una dintre posibilități).

Ultimul exemplu arată că, spre deosebire de cazul antisimetric, spațiul tensorilor simetrici va avea dimensiune pozitivă pentru un număr arbitrar de mare de indici simetrici.

Aplicație

Tensorii covarianți simetrici apar din expansiunea într- o serie Taylor a unei funcții date pe un spațiu liniar - un termen de grad n este o funcțională n -liniară simetrică , adică „coeficientul” său este un tensor absolut simetric de rang n .

În mecanica cuantică , un tensor simetric în n indici descrie starea de n particule a unui boson . Când o stare este descrisă de o funcție de undă , funcțiile de undă ale multor variabile pot fi considerate matematic ca tensori infiniti-dimensionali (fiecărui argument îi corespunde un index). O funcție simetrică satisface ecuația și, în mod similar, pentru mai multe variabile. $\psi(x,y)=\psi(y,x)$