Tensor antisimetric
În matematică și fizică teoretică , se spune că un tensor este antisimetric în doi indici i și j dacă își schimbă semnul atunci când acești indici sunt interschimbați:
Dacă un tensor își schimbă semnul atunci când orice pereche de indici este permutată, atunci un astfel de tensor se numește tensor absolut antisimetric .
Pentru orice tensor U , cu componente , se poate construi un tensor simetric și antisimetric conform regulii:
(partea simetrică),
(partea antisimetrică),
![{\displaystyle U_{[ij]k\dots }=(1/2)(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25491364d297108fe4e838c2d99a1afd7eb5fcb9)
similare pentru alți indici.
Termenul „parte” înseamnă că
![{\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9a1dc8146afb07f560638751c092801fb624e7)
Proprietăți
Contracția tensorului A , care este antisimetric în indicii i și j , cu tensorul B , care este simetric în indicii i și j , este egală cu zero. Dovada:
![{\displaystyle A_{(ij)k\dots }B_{[ij]k\dots}=A_{(ji)k\dots }B_{[ji]k\dots }=-A_{(ij)k\dots }B_{[ij]k\dots }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5057de916bc2d34165d5483d246152579a554a01)
Un tensor antisimetric important în fizică este tensorul câmpului electromagnetic F în electromagnetism .