Sistem de ecuații diferențiale liniare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 10 iunie 2015; verificările necesită 2 modificări .

Un sistem de ecuații diferențiale liniare (SLDE) este un sistem de ecuații diferențiale obișnuite care este liniar în raport cu toate funcțiile dorite și derivatele lor de toate ordinele. Un astfel de sistem poate fi convertit într-un sistem liniar de ordinul întâi al formei canonice, care este de obicei definit ca SLDE. $y_{i}(x)$

Definiție

Dacă există o derivată în sistemul de ecuații diferențiale , atunci puteți adăuga o nouă funcție dorită , determinată de o nouă ecuație liniară . Prin înlocuirea în ecuațiile rămase, derivata este exclusă din sistem. Executarea secvenţială a acestor operaţii pentru un sistem liniar conduce la un sistem liniar de ordinul întâi. Într-un sistem liniar, fiecare derivată poate fi eliminată prin substituție din toate ecuațiile, cu excepția uneia. Prin urmare, un sistem de ecuații diferențiale liniare este de obicei definit ca un sistem de forma [1] $n$ $y_{i}^{(k+1)},k>0$ $y_{{n+1}}$ $y_{i}^{(k)}=y_{n+1}$ $y_{i}^{(k+1)}=y_{n+1}'$ ${\displaystyle y_{i}^{(k+1)))$

y'_{j}=\sum _{k=1}^{n}{p_{jk}(x)y_{k}}+f_{j}(x),j=1,2, \dots ,n

Ecuație diferențială liniară

Având în vedere o ecuație diferențială liniară de ordin $n$

y_{0}^{(n)}=\sum _{k=0}^{n-1}{p_{k}(x)y_{0}^{(k)))+f_{ j}(x)

apoi prin metoda descrisă mai sus se poate transforma într-un sistem de ecuaţii de forma următoare $n$

{\begin{cases}y'_{0}=y_{1}\\y'_{1}=y_{2}\\\cdots \\y'_{n-2}=y_{ n-1}\\y'_{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{p_{k}(x)y_{k}}+f_{j}(x) \end{cazuri}}

Soluție SLDU

Soluția generală a unui SLDE omogen obținut prin echivalarea tuturor cu zero este dată de formule $f_{j}(x)$

{\displaystyle y_{j}=\sum _{k=1}^{n}{C_{k}y_{jk}(x)))

unde sunt soluții parțiale liniar independente ale unui sistem omogen, adică astfel încât determinantul să fie cel puțin într-un punct. În cazul coeficienților constanți, trebuie căutate soluții particulare ale unui sistem omogen sub formă $y_{j1},y_{j2},\dots,y_{jn)$ $||y(x)_{ij}||\neq 0$ $p(x)_{jk}=a_{jk)$

y_{j}(x)=(A_{j0}+A_{j1}x+\dots +A_{jn_{k}-1}x^{n_{k}-1})e^{\lambda _{j}x}

unde sunt coeficienții incerti, sunt rădăcinile ecuației caracteristice $A_{js)$ $\lambda _{j}$

{\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &\cdots &a_{2n}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}}=0

și este multiplicitatea acestor rădăcini. O analiză completă a tuturor cazurilor posibile se face prin metodele algebrei liniare . Pentru a rezolva SLDE cu coeficienți constanți, se folosesc și metode de calcul operațional . $n_{k)$

Note

↑ Dicţionar enciclopedic matematic . - M .: „Bufnițe. enciclopedie " , 1988. - S. 316 .

Literatură

Stepanov V. V., Curs de ecuații diferențiale, ed. a 9-a, M., 1966
Pontryagin L.S., Ecuații diferențiale ordinare, ed. a 4-a, M., 1974.