Solenoid Smale-Williams

Solenoidul Smale-Williams este un exemplu de sistem dinamic reversibil , similar în comportamentul traiectoriilor cu maparea de dublare pe un cerc. Mai precis, acest sistem dinamic este definit pe torul solid , iar pentru o iterație a acestuia, coordonatele unghiulare se dublează; de unde ia naştere automat divergenţa exponenţială a traiectoriilor şi dinamica haotică. Atractorul maxim al acestui sistem se mai numește și solenoid (de unde, de fapt, vine numele): este aranjat ca o unire (nenumărabilă) de „fire” înfășurate de-a lungul unui tor solid.

Definiție

Maparea solenoidului se numește mapare

F:S^{1}\times D\to S^{1}\times D

tor solid în sine, dat ca

F(\varphi,z)=(2\varphi,{\frac {1}{2}}e^{i\varphi}+{\frac {1}{10}}z).

Aici, pentru comoditate, discul este considerat un singur disc pe plan complex: . $D$ $D=\{|z|\leq 1\)$

Atractorul maxim al acestei mapări (precum și întregul sistem dinamic corespunzător) se numește solenoidul Smale-Williams . $A_{max}(F)$

Proprietăți

Maparea solenoidului este hiperbolică .
Solenoidul însuși se dovedește a fi homeomorf la mulțimea obținută prin implementarea procedurii de suprastructură peste odometru - maparea adunării unui număr întreg în 2 adic . $\mathbb{Z } _{2}$
Dinamica pe un solenoid permite codificare simbolică : un punct de solenoid poate fi asociat (aproape unu-la-unu) cu secvențe infinite cu două fețe de zerouri și unu, iar aplicarea mapării va corespunde unei deplasări la stânga pe spațiul secvențelor. , iar o parte a secvenței cu indici pozitivi va fi o reprezentare binară a coordonatei unghiulare.

Link -uri

Atractorul Smale-Williams pe site-ul web al Grupului Saratov de dinamică neliniară.

Literatură

Sinai Ya. G., Vershik A. M., Dobrushin R. L., Dynamic Systems-2, VINITI.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice cu o trecere în revistă a realizărilor recente / Per. din engleza. ed. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .