Densitatea spectrală

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 iunie 2016; verificările necesită 3 modificări .

În inginerie radio statistică și fizică, atunci când se studiază semnalele deterministe și procesele aleatoare , reprezentarea lor spectrală sub formă de densitate spectrală, care se bazează pe transformata Fourier , este utilizată pe scară largă .

Dacă procesul are o energie finită și este integrabil pătrat (și acesta este un proces non-staționar), atunci pentru o implementare a procesului, transformata Fourier poate fi definită ca o funcție complexă aleatorie a frecvenței: $x(t)$

X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.

(unu)

Cu toate acestea, se dovedește a fi aproape inutil pentru descrierea ansamblului. Ieșirea din această situație este să renunți la unii parametri ai spectrului, și anume spectrul fazelor, și să construiești o funcție care să caracterizeze distribuția energiei procesului de-a lungul axei frecvenței. Apoi, conform teoremei lui Parseval , energia

E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty } |X(f)|^{2}df.

(2)

Funcția caracterizează astfel distribuția energiei de realizare de-a lungul axei frecvenței și se numește densitatea spectrală de realizare. Făcând media acestei funcții pe toate realizările, se poate obține densitatea spectrală a procesului. $S_{x}(f)=|X(f)|^{2)$

Să ne întoarcem acum la un proces stocastic centrat în linii mari , ale cărui realizări au energie infinită cu probabilitate 1 și, prin urmare, nu au o transformată Fourier. Densitatea spectrală de putere a unui astfel de proces poate fi găsită pe baza teoremei Wiener-Khinchin ca transformată Fourier a funcției de corelație: $x(t)$

S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau .

(3)

Dacă există o transformare directă, atunci există și o transformată Fourier inversă , care determină din cunoscutul : $S_{x}(f)$ $k_{x}(\tau )$

k_{x}(\tau )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.

(patru)

Dacă presupunem în formulele (3) și (4) și respectiv , avem $f=0$ $\tau=0$

S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau )d\tau,

(5)

\sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.

(6)

Formula (6), luând în considerare (2), arată că dispersia determină energia totală a unui proces aleator staționar, care este egală cu aria de sub curba densității spectrale. Valoarea dimensională poate fi interpretată ca fracțiunea de energie concentrată într-un interval mic de frecvență de la până la . Dacă înțelegem prin curent sau tensiune aleatoare (fluctuație), atunci valoarea va avea dimensiunea energiei [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Prin urmare, uneori este numit spectru energetic . În literatura de specialitate, puteți găsi adesea o altă interpretare: - este considerată puterea medie eliberată de curent sau tensiune la o rezistență de 1 ohm. În acest caz, valoarea se numește spectrul de putere al unui proces aleatoriu. $S_{x}(f)df$ $f-df/2$ $f+df/2$ $x(t)$ $S_{x}(f)$ $S_{x}(f)$ $\sigma _{x}^{2}$ $S_{x}(f)$

Proprietățile densității spectrale

Spectrul energetic al unui proces staționar (real sau complex) este o valoare nenegativă:

S_{x}(f)\geq 0

(7)

Spectrul energetic al unui staționar real în sensul larg al unui proces aleatoriu este o funcție reală și uniformă a frecvenței:

S_{x}(-f)=S_{x}(f)

(opt)

Funcția de corelație și spectrul de energie al unui proces aleator larg staționar au toate proprietățile caracteristice unei perechi de transformări Fourier reciproce . În special, cu cât spectrul este „mai larg” , cu atât funcția de corelare este „mai îngustă” și invers. Acest rezultat este cuantificat ca un principiu sau o relație de incertitudine. $k_{x}(\tau )$ $S_{x}(f)$ $S_{x}(f)$ $k_{x}(\tau )$

Vezi și

Literatură

Zyuko, A. G. , Klovsky, D. D. , Nazarov, M. V. , Fink, L. M. Teoria transmisiei semnalului. - M . : Comunicare, 1980. - 288 p.
Tikhonov, V. I. , Kharisov, V. N. Analiza statistică și sinteza dispozitivelor și sistemelor de inginerie radio. - M . : Radio și comunicare, 2004. - 608 p. - ISBN 5-256-01701-2 .
Tikhonov, V. I. , Bakaev, Yu. N. Teoria statistică a dispozitivelor de inginerie radio. - M . : VVIA im. prof. N. E. Jukovski , 1978. - 420 p.