Teoria spectrală este un termen general în matematică, care se referă la teorii care extind conceptele de funcție proprie și valoare proprie de la matrice pătrată la clase mai largi de operatori liniari în diferite spații. Astfel de teorii apar în mod natural în studiul sistemelor de ecuații liniare și al generalizărilor acestora. Astfel de teorii sunt strâns legate de funcțiile analitice, deoarece proprietățile spectrale ale unui operator sunt legate de funcțiile analitice ale parametrului spectral.
Termenul „teorie spectrală” în sine a fost introdus de David Hilbert în formularea originală a teoriei spațiilor Hilbert , care a fost formulată folosind forma pătratică a unui număr infinit de variabile. Prin urmare, versiunea originală a teoremei spectrale a fost formulată ca o extensie a teoremei privind reducerea unei forme pătratice la axele principale . Cercetări mai recente în mecanica cuantică au făcut posibilă explicarea caracteristicilor spectrului atomului , ceea ce a fost destul de neașteptat.
Există trei formulări principale ale teoriei spectrale, fiecare dintre ele având motive să fie considerată utilă. După formularea originală a lui Hilbert, cercetările ulterioare privind teoria spectrală a operatorului normal în spațiul Hilbert au fost adaptate nevoilor fizicii, în special cercetările făcute de von Neumann [1] . Dezvoltarea ulterioară a teoriei ar putea include și algebrele Banach . Aceste studii au condus la reprezentarea lui Gelfand, care acoperă complet cazul comutativ, iar mai târziu la analiza armonică necomutativă.
Diferența poate fi înțeleasă făcând o paralelă cu analiza Fourier. Transformata Fourier pe axa reală, pe de o parte, este teoria spectrală a diferențierii ca operator diferențial. Cu toate acestea, în practică, se dovedește că trebuie să se lucreze cu o generalizare a funcțiilor proprii (de exemplu, folosind încadrarea spațiului Hilbert). Pe de altă parte, este destul de ușor să construiești o algebră de grup care să satisfacă proprietățile de bază ale transformării Fourier, iar acest lucru se poate face folosind dualitatea Pontryagin .
Proprietățile spectrale ale operatorilor pe spațiile Banach pot fi, de asemenea, investigate, de exemplu, operatorii compacti pe un spațiu Banach au proprietăți spectrale destul de asemănătoare cu cele ale matricelor.
Oscilațiile au fost explicate tocmai cu ajutorul metodelor teoriei spectrale,
Teoria spectrală este strâns legată de studiul oscilațiilor localizate ale diferitelor obiecte, de la atomi și molecule din chimie până la ghiduri de undă acustică. Aceste vibrații au frecvențe (frecvențe naturale de vibrație). Întrebarea aplicată este cum se calculează aceste frecvențe. Aceasta este o sarcină destul de dificilă, deoarece fiecare corp are nu numai un ton fundamental (care corespunde frecvenței celei mai joase), ci și multe tonuri, a căror secvență este destul de netrivială.
Teoria matematică la nivel tehnic nu este legată de acest tip de considerații fizice, deși există multe exemple de influență reciprocă. Pentru prima dată, termenul spectru în acest sens, se pare, a fost preluat de Hilbert în 1897 dintr-un articol al lui Wilhelm Wirtinger despre ecuația diferențială a lui Hill , iar apoi termenul a fost preluat de studenții săi, inclusiv Erhard Schmidt și Hermann Weyl .
Doar douăzeci de ani mai târziu, după formularea mecanicii cuantice de către Schrödinger , s-a stabilit legătura dintre spectrul matematic al operatorului și spectrul atomului. Deși, după cum a menționat Henri Poincaré , o legătură cu modelul matematic al oscilațiilor a fost suspectată mult mai devreme, totuși, aceasta a fost respinsă prin argumente cantitative destul de simple, de exemplu, incapacitatea de a explica seria de frecvențe Balmer . Astfel, denumirea teoriei spectrale nu era legată logic de capacitatea sa de a explica spectrul atomului, a fost doar o coincidență.