Operator normal

Un operator normal este un operator liniar mărginit într-un spațiu Hilbert care comută cu conjugatul său : . Cazurile speciale ale operatorilor normali sunt operatorii autoadjuncți : și operatorii unitari : . Pentru operatorii normali, teorema spectrală este valabilă . $N^* N = NN^*$ $A = A^*$ $U^{-1} = U^*$

Extinderi

Descompunerea aditivă. , unde sunt operatorii de permutare autoadjuncți , $N = X + i Y$ $X Y$

X = \frac{1}{2} (N + N^*), \quad Y = \frac{1}{2i}(N - N^*).

Expansiune multiplicativă (polară) . , unde este un operator auto-adjunct pozitiv , este un operator unitar . Operatoriișifac naveta atât între ele, cât și cu orice operator liniar care face naveta simultan cuși. $N=RU=UR$ $R = \sqrt{N^* N}$ $U$ $R$ $U$ $N$ $N^{*}$

Expansiunea aditivă este similară cu expresia unui număr complex în ceea ce privește părțile sale reale și imaginare: , iar expansiunea multiplicativă este similară cu reprezentarea în formă exponențială: [1] $z$ $z = x + iy$ $z = re^{i\varphi}.$

Proprietăți

Dacă operatorul este normal, atunci operatorii , și operatorul invers (dacă există) sunt de asemenea normali. [2] $N$ $N^{*}$ $\alpha N + \beta I, \, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$ $N^{-1}$
Un operator liniar continuu într-un spațiu Hilbert este normal dacă și numai dacă pentru fiecare . $N$ $H$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x\în H$
$\mbox{Ker}\, N = \mbox{Ker}\,N^* = \mbox{Im}\, N^{\perp}$ . Aici , este nucleul și este imaginea operatorului . $\mbox{Ker}\, N$ $\mbox{Im}\, N$ $N$
Dacă pentru unii și , atunci . $N x = \alpha x$ $x \în H$ $\alpha \in \mathbb{C}$ $N^* x = \bar \alpha x$
Spațiile proprii corespunzătoare diferitelor valori proprii ale operatorului normal sunt ortogonale . [3]
Teorema permutabilității. Fie operatori liniari continui și fie operatori și normali. Dacă , atunci . În special, dacă un operator comută cu operatorul normal , atunci comută cu conjugatul . [patru] $M, N, T$ $M$ $N$ $MT=TN$ $M^* T = TN^*$ $T$ $N$ $N^{*}$
$\| N \| = \up \{ |(Nx,x)| \colon x \in H, \, \| x \| \le 1 \}$ [5]
Un operator normal este autoadjunct dacă și numai dacă spectrul său se află pe axa reală . Un operator normal este unitar dacă și numai dacă spectrul său se află pe cercul unitar . [6]
Operatorii normali similari sunt echivalenti unitar, adică dacă , unde sunt operatorii normali și operatorul este inversabil , atunci , unde este un operator unitar . [7] $M = TNT^{-1}$ $M, N$ $T$ $M = UNU^{-1}$ $U$
$\| N^m\| = \| N \|^m$ , prin urmare, raza spectrală a operatorului normal coincide cu norma sa . [2]

Teorema spectrală

Orice operator normal corespunde unei familii de operatori de proiecție , care sunt funcții aditive și multiplicative ale unui dreptunghi, astfel încât $N$ $\{E(\delta)\}$

N = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} z E(dx dy), \quad N^* = \int\limits_{-\ infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \bar z E(dx dy),

si in general vorbind

q(N, N^*) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} q(z, \bar z) E(dx dy) ,

unde este un polinom arbitrar în și ; pentru orice dreptunghi fix , operatorul este limita unei secvențe de polinoame din operatori și [8] . $q(z, \bar z)$ $z = x + iy$ $\bar z = x - iy$ $\delta$ $E(\delta)$ $N$ $N^{*}$

Pe baza descompunerii spectrale a operatorilor normali, se construiește un calcul funcțional pentru funcțiile

f(N) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z) E(dx dy).

[9]

Cazul unui spațiu finit-dimensional

Într -un spațiu unitar finit -dimensional într- o bază ortonormală , unui operator normal îi corespunde o matrice normală . Operatorul normal are și următoarele proprietăți.

Un operator liniar este normal dacă și numai dacă are un sistem ortonormal de vectori proprii .
Pentru un operator normal, fiecare dintre operatori și este reprezentat ca un polinom de la altul dintre operatori; în plus, aceste două polinoame sunt determinate prin specificarea valorilor proprii ale operatorului . $N$ $N$ $N^{*}$ $N$
Dacă este un subspațiu invariant sub operatorul , atunci complementul său ortogonal este și un subspațiu invariant pentru . $S$ $N$ $S^{\perp}$ $N$
O matrice este normală dacă și numai dacă este unitar similară cu o matrice diagonală , adică unde este o matrice unitară , este o matrice diagonală . [zece] $N$ $N = UDU^{-1},$ $U$ $D$

Operatori nelimitați

Noțiunea de operator normal este generalizată la operatori nemărginiți. Un operator liniar (nu neapărat mărginit ) într-un spațiu Hilbert se numește normal dacă domeniul său este dens în , este închis și satisface condiția . Pentru un operator normal , pentru orice . Alte proprietăți ale operatorului normal sunt, de asemenea, generalizate, inclusiv teorema spectrală . [unsprezece] $N$ $H$ $D(N)$ $H$ $N^* N = NN^*$ $D(N^*) = D(N)$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x \in D(N)$

Vezi și

Note

↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , p. 110.
↑ 1 2 Sobolev, 1982 .
↑ Rudin, 1975 , p.12.12.
↑ Rudin, 1975 , p.12.16.
↑ Rudin, 1975 , p.12.25.
↑ Rudin, 1975 , p.12.26.
↑ Rudin, 1975 , p.12.36.
↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , p. 309.
↑ Rudin, 1975 , p. 12.24.
↑ Gantmakher, 1966 , capitolul 9, § 10.
↑ Rudin, 1975 , capitolul 13.

Literatură

Sobolev V.I. Operator normal // Enciclopedie matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Prelegeri despre analiza funcțională. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Rudin W. Analiza functionala. — M .: Mir, 1975.
Gantmakher F. R. Teoria matricei. - Ed. al 2-lea, suplimentar .. - M . : Nauka, Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1966.