The Fifty -Nine Icosahedra este o carte scrisă și ilustrată de Harold Coxeter , Patrick du Val , H. T. Flaser și J. F. Petrie. Cartea enumeră câteva forme stelare ale icosaedrelor convexe ( platonice ) regulate , construite după un set de reguli propuse de J. C. P. Miller .
Cartea a fost publicată de University of Toronto Press în 1938. O a doua ediție a fost publicată de Springer-Verlag în 1982. Keith și David Crennell au rescris complet textul și au redesenat filele și diagramele pentru cea de-a treia ediție (Tarquin) în 1999 și au adăugat noi materiale de referință și fotografii.
Deși J. C. P. Miller nu a scris direct cartea, a fost un coleg apropiat cu Coxeter și Petrie. Contribuțiile sale sunt imortalizate în setul său de reguli pentru a determina ce stelări pot fi considerate „esențiale și distincte”:
Primele trei reguli corespund cerințelor de simetrie pentru planurile feței. Regula 4 exclude cavitățile interne, asigurându-se că nu există două forme de stele să arate identice. Regula 5 exclude orice componente incoerente ale formelor mai simple.
Coxeter a fost principala forță motrice din spatele lucrării. El a efectuat analize bazate pe regulile lui Miller, folosind o serie de tehnici precum combinatoria și teoria abstractă a grafurilor , a căror aplicare în geometrie era nouă la acea vreme.
El a observat că diagrama unei stele conține multe segmente. Apoi a dezvoltat o procedură de lucru cu combinații de regiuni plate adiacente pentru a enumera în mod oficial combinațiile care se încadrează sub regulile lui Miller.
Graficul prezentat aici arată conectivitatea diferitelor fețe reprezentate în diagrama stea (vezi mai jos). Literele grecești definesc un set de opțiuni posibile:
λ poate fi 3 sau 4 μ poate fi 7 sau 8 ν poate fi 11 sau 12Du Val a conceput notația simbolică pentru seturi de celule congruetate pe baza observației că acestea se află pe o „cochilie” în jurul icosaedrului original. Pe baza acestui fapt, el a testat toate combinațiile posibile împotriva regulilor lui Miller, confirmând rezultatele abordării mai analitice a lui Coxeter.
Contribuția lui Flaser nu a fost directă - a făcut modele din carton pentru toate cele 59 de poliedre. Înainte de a-l întâlni pe Coxeter, el făcuse deja multe forme de stele, inclusiv niște poliedre care nu se încadrau sub regulile lui Miller. A continuat să lucreze la crearea unei serii complete, care este stocată în biblioteca de matematică a Universității din Cambridge (Anglia). Biblioteca deține și câteva modele non-milleriene, dar nu se știe dacă au fost realizate ulterior de studenții lui Flaser sau Miller [1] .
John Flinders Petrie, un vechi prieten al lui Coxeter, avea o abilitate remarcabilă de a reprezenta figuri în spațiul cu patru dimensiuni. El și Coxeter au lucrat împreună la multe probleme matematice. Contribuția sa directă la carte constă în numeroasele desene tridimensionale perfecte care oferă farmecul cărții.
Pentru cea de-a treia ediție, Keith și David Crennell au revizuit complet textul și au redesenat ilustrațiile și inserțiile. Ei au adăugat, de asemenea, o secțiune de referință care conține tabele, diagrame și fotografii ale unora dintre modelele Cambridge (care la acea vreme erau toate de Flazer). Indexul a inclus toate cele 59 de poliedre, numerotate succesiv în ordinea în care au apărut în carte. În timpul procesului de editare s-au strecurat mai multe erori. Fișier PDF cu pagini corectate disponibil online.
Înainte de Coxeter, numai Brückner și Wheeler au descris câteva seturi semnificative de stelare, deși unele, cum ar fi marele icosaedru, sunt cunoscute înainte. În urma publicării unei cărți despre 59 de icosaedri, Wenninger a publicat instrucțiuni pentru construirea unora dintre modelele din serie. Schema de numerotare adoptată în cartea sa a devenit utilizată pe scară largă, deși a dat doar câteva forme stelare.
Numerotarea este de către Krennels, dacă nu se specifică altfel.
Krennels
VRML
celule
Fațete
Wenninger
Wheeler
Brueckner
Note
Crennell | VRML | Celulele | Fațete | Wenninger | Wheeler | Brueckner | Note | margine | 3D |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
unu | [unu] | A | 0 | Icosaedru |
4 unu | Icosaedrul solid platonic | |||
2 | [2] | B | unu | 26 Prima formă de stea |
2 | Tab. VIII, fig. 2 | Prima stelare a icosaedrului , icosaedrul triambic mic sau Triakisicosaedrul |
||
3 | [3] | C | 2 | 23 Compus din cinci octaedre |
3 | Tab. IX, fig. 6 | Conectarea corectă a cinci octaedre | ||
patru | [patru] | D | 3 4 | patru | Tab. IX, fig.17 | ||||
5 | [5] | E | 5 6 7 | ||||||
6 | [6] | F | 8 9 10 | 27
A doua formă de stea |
19 | ||||
7 | [7] | G | 11 12 | 41 Marele icosaedru |
unsprezece | Tab. XI, fig. 24 | Icosaedru mare | ||
opt | [opt] | H | 13 | 42 Forma finală de stea |
12 | Tab. XI, fig. paisprezece | Echidnaedrul | ||
9 | [9] | e 1 | 3'5 | 37 Forma a douăsprezecea stea |
|||||
zece | [zece] | f1 _ | 5' 6' 9 10 | ||||||
unsprezece | [unsprezece] | g 1 | 10' 12 | 29 A patra formă de stea |
21 | ||||
12 | [12] | e 1 f 1 | 3' 6' 9 10 | ||||||
13 | [13] | e 1 f 1 g 1 | 3' 6' 9 12 | douăzeci | |||||
paisprezece | [paisprezece] | f 1 g 1 | 5' 6' 9 12 | ||||||
cincisprezece | [cincisprezece] | e 2 | 4' 6 7 | ||||||
16 | [16] | f2 _ | 7'8 | 22 | |||||
17 | [17] | g2 _ | 8' 9' 11 | ||||||
optsprezece | [optsprezece] | e 2 f 2 | 4' 6 8 | ||||||
19 | [19] | e 2 f 2 g 2 | 4'6 9'11 | ||||||
douăzeci | [douăzeci] | f 2 g 2 | 7' 9' 11 | 30 Forma a cincea stea |
|||||
21 | [21] | De 1 | 4 5 | 32 A șaptea formă de stea |
zece | ||||
22 | [22] | Ef 1 | 7 9 10 | 25 Compus din zece tetraedre |
opt | Tab. IX, fig. 3 | Conectarea corectă a zece tetraedre | ||
23 | [23] | Fg 1 | 8 9 12 | 31 A șasea formă de stea |
17 | Tab. X, fig. 3 | |||
24 | [24] | De 1 f 1 | 4 6' 9 10 | ||||||
25 | [25] | De 1 f 1 g 1 | 4 6' 9 12 | ||||||
26 | [26] | Ef 1 g 1 | 7 9 12 | 28 A treia formă de stea |
9 | Tab. VIII, fig. 26 | Dodecaedru crestat | ||
27 | [27] | De 2 | 3 6 7 | 5 | |||||
28 | [28] | Ef 2 | 5 6 8 | optsprezece | Tab. IX, fig. douăzeci | ||||
29 | [29] | Fg 2 | 10 11 | 33 A opta formă de stea |
paisprezece | ||||
treizeci | [treizeci] | De 2 f 2 | 3 6 8 | 34 A noua formă de stea |
13 | Triambikycosaedru mediu sau Triambikycosaedru mare |
|||
31 | [31] | De 2 f 2 g 2 | 3 6 9' 11 | ||||||
32 | [32] | Ef 2 g 2 | 5 6 9' 11 | ||||||
33 | [33] | f1 _ | 5' 6' 9 10 | 35 Forma a zecea stea |
|||||
34 | [34] | e 1 f 1 | 3' 5 6' 9 10 | 36 Forma a unsprezecea stea |
|||||
35 | [35] | De 1 f 1 | 4 5 6' 9 10 | ||||||
36 | [36] | f 1 g 1 | 5' 6' 9 10' 12 | ||||||
37 | [37] | e 1 f 1 g 1 | 3'5 6'9 10'12 _ _ _ | 39 A paisprezecea formă de stea |
|||||
38 | [38] | De 1 f 1 g 1 | 4 5 6' 9' 10' 12 | ||||||
39 | [39] | f 1 g 2 | 5' 6' 8' 9' 10 11 | ||||||
40 | [40] | e 1 f 1 g 2 | 3' 5 6' 8' 9' 10 11 | ||||||
41 | [41] | De 1 f 1 g 2 | 4 5 6' 8' 9' 10 11 | ||||||
42 | [42] | f 1 f 2 g 2 | 5' 6' 7' 9' 10 11 | ||||||
43 | [43] | e 1 f 1 f 2 g 2 | 3' 5 6' 7' 9' 10 11 | ||||||
44 | [44] | De 1 f 1 f 2 g 2 | 4 5 6' 7' 9' 10 11 | ||||||
45 | [45] | e 2 f 1 | 4' 5' 6 7 9 10 | 40 A cincisprezecea formă de stea |
|||||
46 | [46] | De 2 f 1 | 3 5' 6 7 9 10 | ||||||
47 | [47] | E f 1 | 5 6 7 9 10 | 24 Compus din cinci tetraedre |
7 (6: stânga) |
Tab. IX, fig. unsprezece | Conectarea corectă a cinci tetraedre (dreapta) | ||
48 | [48] | e 2 f 1 g 1 | 4' 5' 6 7 9 10' 12 | ||||||
49 | [49] | De 2 f 1 g 1 | 3 5' 6 7 9 10' 12 | ||||||
cincizeci | [cincizeci] | E f 1 g 1 | 5 6 7 9 10' 12 | ||||||
51 | [51] | e 2 f 1 f 2 | 4' 5' 6 8 9 10 | 38 A treisprezecea formă de stea |
|||||
52 | [52] | De 2 f 1 f 2 | 3 5' 6 8 9 10 | ||||||
53 | [53] | E f 1 f 2 | 5 6 8 9 10 | 15 (16: stânga) |
|||||
54 | [54] | e 2 f 1 f 2 g 1 | 4' 5' 6 8 9 10' 12 | ||||||
55 | [55] | De 2 f 1 f 2 g 1 | 3 5' 6 8 9 10' 12 | ||||||
56 | [56] | E f 1 f 2 g 1 | 5 6 8 9 10' 12 | ||||||
57 | [57] | e 2 f 1 f 2 g 2 | 4' 5' 6 9' 10 11 | ||||||
58 | [58] | De 2 f 1 f 2 g 2 | 3 5' 6 9' 10 11 | ||||||
59 | [59] | E f 1 f 2 g 2 | 5 6 9' 10 11 |