Cincizeci și nouă de icosaedre

The Fifty -Nine Icosahedra este o  carte scrisă și ilustrată de Harold Coxeter , Patrick du Val , H. T. Flaser și J. F. Petrie. Cartea enumeră câteva forme stelare ale icosaedrelor convexe ( platonice ) regulate , construite după un set de reguli propuse de J. C. P. Miller .

Cartea a fost publicată de University of Toronto Press în 1938. O a doua ediție a fost publicată de Springer-Verlag în 1982. Keith și David Crennell au rescris complet textul și au redesenat filele și diagramele pentru cea de-a treia ediție (Tarquin) în 1999 și au adăugat noi materiale de referință și fotografii.

Contribuții ale autorului

Regulile lui Miller

Deși J. C. P. Miller nu a scris direct cartea, a fost un coleg apropiat cu Coxeter și Petrie. Contribuțiile sale sunt imortalizate în setul său de reguli pentru a determina ce stelări pot fi considerate „esențiale și distincte”:

  1. Fețele trebuie să se afle pe douăzeci de planuri, adică pe planurile de delimitare ale unui icosaedru regulat.
  2. Toate părțile care alcătuiesc fețele trebuie să fie aceleași în fiecare plan, chiar dacă sunt complet separate.
  3. Părțile care aparțin oricărui (un) plan trebuie să aibă simetrie trigonală cu sau fără reflexie. Aceasta oferă simetrie icosaedrică pentru întregul corp.
  4. Piesele care aparțin oricărui plan trebuie să fie toate „accesibile” în corpul rezultat (adică trebuie să fie „exterioare”. În unele cazuri trebuie să construim modele uriașe pentru a vedea toate piesele. Pentru modelele de dimensiuni normale, unele piese, deși sunt „externe”, pot fi detectate doar de insectele târâtoare).
  5. Cazurile sunt excluse din considerare atunci când părțile pot fi împărțite în două seturi, care dau individual un corp cu o simetrie mai mare decât figura în sine. Dar permitem unirea unei perechi enantiomorfe care nu are părți comune (de fapt, acest lucru se întâmplă doar într-un caz).

Primele trei reguli corespund cerințelor de simetrie pentru planurile feței. Regula 4 exclude cavitățile interne, asigurându-se că nu există două forme de stele să arate identice. Regula 5 exclude orice componente incoerente ale formelor mai simple.

Coxeter

Coxeter a fost principala forță motrice din spatele lucrării. El a efectuat analize bazate pe regulile lui Miller, folosind o serie de tehnici precum combinatoria și teoria abstractă a grafurilor , a căror aplicare în geometrie era nouă la acea vreme.

El a observat că diagrama unei stele conține multe segmente. Apoi a dezvoltat o procedură de lucru cu combinații de regiuni plate adiacente pentru a enumera în mod oficial combinațiile care se încadrează sub regulile lui Miller.

Graficul prezentat aici arată conectivitatea diferitelor fețe reprezentate în diagrama stea (vezi mai jos). Literele grecești definesc un set de opțiuni posibile:

λ poate fi 3 sau 4 μ poate fi 7 sau 8 ν poate fi 11 sau 12

Du Val

Du Val a conceput notația simbolică pentru seturi de celule congruetate pe baza observației că acestea se află pe o „cochilie” în jurul icosaedrului original. Pe baza acestui fapt, el a testat toate combinațiile posibile împotriva regulilor lui Miller, confirmând rezultatele abordării mai analitice a lui Coxeter.

Flazer

Contribuția lui Flaser nu a fost directă - a făcut modele din carton pentru toate cele 59 de poliedre. Înainte de a-l întâlni pe Coxeter, el făcuse deja multe forme de stele, inclusiv niște poliedre care nu se încadrau sub regulile lui Miller. A continuat să lucreze la crearea unei serii complete, care este stocată în biblioteca de matematică a Universității din Cambridge (Anglia). Biblioteca deține și câteva modele non-milleriene, dar nu se știe dacă au fost realizate ulterior de studenții lui Flaser sau Miller [1] .

Petri

John Flinders Petrie, un vechi prieten al lui Coxeter, avea o abilitate remarcabilă de a reprezenta figuri în spațiul cu patru dimensiuni. El și Coxeter au lucrat împreună la multe probleme matematice. Contribuția sa directă la carte constă în numeroasele desene tridimensionale perfecte care oferă farmecul cărții.

Krennels

Pentru cea de-a treia ediție, Keith și David Crennell au revizuit complet textul și au redesenat ilustrațiile și inserțiile. Ei au adăugat, de asemenea, o secțiune de referință care conține tabele, diagrame și fotografii ale unora dintre modelele Cambridge (care la acea vreme erau toate de Flazer). Indexul a inclus toate cele 59 de poliedre, numerotate succesiv în ordinea în care au apărut în carte. În timpul procesului de editare s-au strecurat mai multe erori. Fișier PDF cu pagini corectate disponibil online.

Lista cu cincizeci și nouă de icosaedri

Înainte de Coxeter, numai Brückner și Wheeler au descris câteva seturi semnificative de stelare, deși unele, cum ar fi marele icosaedru, sunt cunoscute înainte. În urma publicării unei cărți despre 59 de icosaedri, Wenninger a publicat instrucțiuni pentru construirea unora dintre modelele din serie. Schema de numerotare adoptată în cartea sa a devenit utilizată pe scară largă, deși a dat doar câteva forme stelare.

Note

Numerotarea este de către Krennels, dacă nu se specifică altfel.

Krennels

VRML

celule

Fațete

Wenninger

Wheeler

Brueckner

Note

Tabelul cu cincizeci și nouă de icosaedri

Crennell VRML Celulele Fațete Wenninger Wheeler Brueckner Note margine 3D
unu [unu] A 0 04
Icosaedru
unu Icosaedrul solid platonic
2 [2] B unu 26
Prima formă de stea
2 Tab. VIII, fig. 2 Prima stelare a icosaedrului ,
icosaedrul triambic mic
sau Triakisicosaedrul
3 [3] C 2 23
Compus din cinci octaedre
3 Tab. IX, fig. 6 Conectarea corectă a cinci octaedre
patru [patru] D 3 4 99 patru Tab. IX, fig.17
5 [5] E 5 6 7 99 99
6 [6] F 8 9 10 27

A doua formă de stea

19
7 [7] G 11 12 41
Marele icosaedru
unsprezece Tab. XI, fig. 24 Icosaedru mare
opt [opt] H 13 42
Forma finală de stea
12 Tab. XI, fig. paisprezece Echidnaedrul
9 [9] e 1 3'5 37
Forma a douăsprezecea stea
99
zece [zece] f1 _ 5' 6' 9 10 99 99
unsprezece [unsprezece] g 1 10' 12 29
A patra formă de stea
21
12 [12] e 1 f 1 3' 6' 9 10 99 99
13 [13] e 1 f 1 g 1 3' 6' 9 12 99 douăzeci
paisprezece [paisprezece] f 1 g 1 5' 6' 9 12 99 99
cincisprezece [cincisprezece] e 2 4' 6 7 99 99
16 [16] f2 _ 7'8 99 22
17 [17] g2 _ 8' 9' 11 99 99
optsprezece [optsprezece] e 2 f 2 4' 6 8 99 99
19 [19] e 2 f 2 g 2 4'6 9'11 99 99
douăzeci [douăzeci] f 2 g 2 7' 9' 11 30
Forma a cincea stea
99
21 [21] De 1 4 5 32
A șaptea formă de stea
zece
22 [22] Ef 1 7 9 10 25
Compus din zece tetraedre
opt Tab. IX, fig. 3 Conectarea corectă a zece tetraedre
23 [23] Fg 1 8 9 12 31
A șasea formă de stea
17 Tab. X, fig. 3
24 [24] De 1 f 1 4 6' 9 10 99 99
25 [25] De 1 f 1 g 1 4 6' 9 12 99 99
26 [26] Ef 1 g 1 7 9 12 28
A treia formă de stea
9 Tab. VIII, fig. 26 Dodecaedru crestat
27 [27] De 2 3 6 7 99 5
28 [28] Ef 2 5 6 8 99 optsprezece Tab. IX, fig. douăzeci
29 [29] Fg 2 10 11 33
A opta formă de stea
paisprezece
treizeci [treizeci] De 2 f 2 3 6 8 34
A noua formă de stea
13 Triambikycosaedru mediu sau
Triambikycosaedru mare
31 [31] De 2 f 2 g 2 3 6 9' 11 99 99
32 [32] Ef 2 g 2 5 6 9' 11 99 99
33 [33] f1 _ 5' 6' 9 10 35
Forma a zecea stea
99
34 [34] e 1 f 1 3' 5 6' 9 10 36
Forma a unsprezecea stea
99
35 [35] De 1 f 1 4 5 6' 9 10 99 99
36 [36] f 1 g 1 5' 6' 9 10' 12 99 99
37 [37] e 1 f 1 g 1 3'5 6'9 10'12 _ _ _ 39
A paisprezecea formă de stea
99
38 [38] De 1 f 1 g 1 4 5 6' 9' 10' 12 99 99
39 [39] f 1 g 2 5' 6' 8' 9' 10 11 99 99
40 [40] e 1 f 1 g 2 3' 5 6' 8' 9' 10 11 99 99
41 [41] De 1 f 1 g 2 4 5 6' 8' 9' 10 11 99 99
42 [42] f 1 f 2 g 2 5' 6' 7' 9' 10 11 99 99
43 [43] e 1 f 1 f 2 g 2 3' 5 6' 7' 9' 10 11 99 99
44 [44] De 1 f 1 f 2 g 2 4 5 6' 7' 9' 10 11 99 99
45 [45] e 2 f 1 4' 5' 6 7 9 10 40
A cincisprezecea formă de stea
99
46 [46] De 2 f 1 3 5' 6 7 9 10 99 99
47 [47] E f 1 5 6 7 9 10 24
Compus din cinci tetraedre
7
(6: stânga)
Tab. IX, fig. unsprezece Conectarea corectă a cinci tetraedre (dreapta)
48 [48] e 2 f 1 g 1 4' 5' 6 7 9 10' 12 99 99
49 [49] De 2 f 1 g 1 3 5' 6 7 9 10' 12 99 99
cincizeci [cincizeci] E f 1 g 1 5 6 7 9 10' 12 99 99
51 [51] e 2 f 1 f 2 4' 5' 6 8 9 10 38
A treisprezecea formă de stea
99
52 [52] De 2 f 1 f 2 3 5' 6 8 9 10 99 99
53 [53] E f 1 f 2 5 6 8 9 10 99 15
(16: stânga)
54 [54] e 2 f 1 f 2 g 1 4' 5' 6 8 9 10' 12 99 99
55 [55] De 2 f 1 f 2 g 1 3 5' 6 8 9 10' 12 99 99
56 [56] E f 1 f 2 g 1 5 6 8 9 10' 12 99 99
57 [57] e 2 f 1 f 2 g 2 4' 5' 6 9' 10 11 99 99
58 [58] De 2 f 1 f 2 g 2 3 5' 6 9' 10 11 99 99
59 [59] E f 1 f 2 g 2 5 6 9' 10 11 99 99

Vezi și

Note

  1. Adevărate stelare pierdute . Consultat la 14 noiembrie 2015. Arhivat din original la 13 martie 2016.

Literatură

Link -uri