Proces aleatoriu

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 octombrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Un proces aleator (proces probabilistic, funcție aleatoare, proces stocastic) în teoria probabilității este o familie de variabile aleatoare indexate de un parametru , jucând cel mai adesea rolul de timp sau de coordonată .

Definiție

Fie un spațiu măsurabil , un set de valori ale parametrului . O funcție parametru ale cărei valori sunt variabile aleatoare în spațiul evenimentelor elementare din spațiul fazelor se numește proces aleatoriu în spațiul fazelor . [unu] $(E,{\mathfrak {B}})$ $T$ $t$ $\xi =\xi (t)$ $t\in T$ $\xi (t)=\xi (\omega,t)$ $(\Omega, {\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$

Terminologie

Clasificarea și terminologia utilizată în domeniul cercetării și aplicării aplicate a proceselor aleatorii nu sunt stricte. În special, termenul „proces aleatoriu” este adesea folosit ca sinonim necondiționat pentru termenul „funcție aleatorie”. [2] În funcție de tipul de set , se folosesc adesea următorii termeni. $T$

Dacă , atunci parametrul poate fi interpretat ca timp . Atunci funcția aleatoare se numește proces aleatoriu . Dacă mulțimea este discretă, de exemplu , atunci un astfel de proces aleatoriu se numește o secvență aleatorie . $T\subset \mathbb {R}$ $t\in T$ $\{X_{t}\}$ $T$ $T\subset {\mathbb {N}}$

Dacă , unde , atunci parametrul poate fi interpretat ca un punct în spațiu, iar atunci funcția aleatoare se numește câmp aleator . $T\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $n\geqslant 1$ $t\in T$

Informații de bază

Toate distribuțiile comune de probabilitate posibile ale valorilor : $\xi (t_{1}),...,\xi (t_{n}),t_{1},...,t_{n}\in T$

P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=P\stânga\{\xi (t_{1}) \in B_{1},...,\xi (t_{n})\in B_{n}\right\}(B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B} })

sunt numite distribuții de probabilitate finite-dimensionale ale unui proces aleatoriu . Procesele aleatoare și luarea de valori în spațiul fazelor se numesc echivalente dacă pentru oricare dintre valorile corespunzătoare și sunt echivalente . $\xi =\xi (t)$
$\xi =\xi (t)$ $\eta =\eta (t)$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $t\in T$ $\xi (t)=\xi (\omega,t)$ $\eta (t)=\eta (\omega,t)$

Pentru fiecare parametru fix , funcția cu valori în spațiul de fază se numește implementarea sau traiectoria unui proces aleatoriu . Un proces aleatoriu este numit direct specificat dacă fiecare rezultat elementar este descris de o traiectorie corespunzătoare în spațiul funcțional al tuturor funcțiilor din mulțime cu valori în spațiul fazelor ; mai precis, dacă și — algebra este generată de toate mulțimile cilindrice posibile , unde și , iar valorile au forma , . Orice proces aleator poate fi asociat cu un proces aleator dat direct cu aceleași distribuții de dimensiuni finite. Pentru fiecare familie consistentă de distribuții de probabilitate finite-dimensionale ( astfel încât , sunt măsuri dense în spațiul topologic de fază ), există un proces aleator dat direct cu aceleași distribuții de probabilitate finite-dimensionale. $\omega \in \Omega$ $\xi (t)=\xi (\omega,t)$ $t$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ $x=x(t)$ $E=E^{T}$ $T$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\Omega =X$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n))$ $t_{1},...,t_{n}\in T$ $B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B)})$ $\xi (t)=\xi (x,t)$ $\xi (x,t)=x(t)$ $x\in X$ $P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})$ $t_{1},...,t_{n}\in T,B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B)}$ $P_{t}=P_{t}(B),t\in T$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\xi =\xi (t)$

funcția de covarianță . Fie un proces aleatoriu real sau complex pe set care are momente secunde: . Valorile unui proces aleator pot fi considerate elemente ale spațiului Hilbert - spațiul tuturor variabilelor aleatoare , cu produsul scalar $\xi =\xi (t)$ $T$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ $\xi =\xi (t)$ $L^{2}(\Omega )$ $\eta$ $E|\eta (t)|^{2}<\infty$

({\eta }_{1},{\eta }_{2})=E{\eta }_{1}{\overline {\eta }}_{2}

Cele mai importante caracteristici ale unui astfel de proces aleatoriu sunt așteptările sale matematice $\xi (t)$

A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)

și funcția de covarianță

B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))=(\xi (s),\xi (t))

În locul funcției de covarianță, se poate folosi funcția de corelare , care este funcția de covarianță a procesului cu așteptare matematică zero. Dacă argumentele ( ) sunt egale, funcția de corelare este egală cu varianța procesului aleator $B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))-A(s){\overline {A(t)))$ $\xi (t)-A(t)$
$s=t$

B(s,s)=E(\xi (s)-A(s))({\overline {\xi (s)-A(s))))=D(s)

O funcție a două variabile și este o funcție de covarianță a unui proces aleatoriu , , dacă și numai dacă îndeplinește următoarea condiție de definiție pozitivă pentru toți: $B(s,t)$ $s$ $t$ $\xi (t)$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ $n=1,2,...$

\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k)){\overline {c_ {j}}}\geqslant 0

pentru orice numere complexe . $t_{1},t_{2},...t_{n}\in T$ $c_{1},c_{2}...,c_{n)$

Clasificare

Un proces aleatoriu se numește proces discret în timp , dacă sistemul în care curge își schimbă stările numai în anumite momente , al căror număr este finit sau numărabil. Un proces aleatoriu se numește proces în timp continuu dacă trecerea de la stare la stare poate avea loc în orice moment. $X(t)$ $\;t_{1},t_{2},\ldots$
Un proces aleator se numește proces cu stări continue dacă valoarea procesului aleator este o variabilă aleatoare continuă. Un proces aleator se numește proces aleator cu stări discrete dacă valoarea procesului aleator este o variabilă aleatoare discretă:
Un proces aleatoriu se numește staționar dacă toate legile distribuției multidimensionale depind doar de poziția relativă a momentelor de timp , dar nu și de valorile acestor cantități în sine. Cu alte cuvinte, un proces aleatoriu este numit staționar dacă tiparele sale probabilistice sunt neschimbate în timp. În caz contrar, se numește non-staționar . $\;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$
O funcție aleatoare se numește staționară în sensul larg , dacă așteptarea și varianța sa matematică sunt constante, iar ACF depinde doar de diferența de puncte de timp pentru care sunt luate ordonatele funcției aleatoare. Conceptul a fost introdus de A. Ya. Khinchin .
Un proces aleatoriu se numește proces cu incremente staționare de un anumit ordin, dacă modelele probabilistice ale unei astfel de creșteri sunt neschimbate în timp. Astfel de procese au fost luate în considerare de Yaglom [3] .
Dacă ordonatele unei funcții aleatoare respectă legea distribuției normale , atunci funcția în sine se numește normală .
Funcții aleatoare, legea de distribuție a ordonatelor, a cărora într-un moment viitor de timp este complet determinată de valoarea ordonatei procesului în momentul prezent de timp și nu depinde de valorile ordonatelor procesului în momentele anterioare, se numesc Markov .
Un proces aleator se numește proces cu incremente independente dacă pentru orice mulțime , unde , a , variabilele aleatoare , , , sunt reciproc independente. $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ $n>2$ $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ $(X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}})$ $(X_{{t_{3}}}-X_{{t_{2}}})$ $\ldots$ $(X_{{t_{n}}}}-X_{{t_{{n-1}}}})$
Dacă, la determinarea funcțiilor de moment ale unui proces aleator staționar, operația de mediere asupra unui ansamblu statistic poate fi înlocuită cu media în timp, atunci un astfel de proces aleator staționar se numește ergodic .
Printre procesele aleatoare, se disting procesele aleatorii impuls .
Un proces aleator de ramificare poate descrie fenomene asociate cu reproducerea, diviziunea sau transformarea obiectelor.

Exemple

$\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ , unde se numește o secvență aleatorie standard gaussiană (normală) . $\;X_{i}\sim {\mathrm {N}}(0,1)$
Fie , și o variabilă aleatoare. Apoi $f\colon {\mathbb {R}}\la {\mathbb {R}}$ $Y$

X_{t}(\omega )=f(t)\cdot Y(\omega )

este un proces aleatoriu.

Vezi și

Note

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V., Rozanov Yu. A. Teoria probabilității (Concepte de bază. Teoreme limită. Procese aleatoare) - M .: Ediția principală de literatură fizică și matematică, Editura Nauka, 1973. - 496 pagini.
↑ Funcția aleatorie . www.booksite.ru _ Preluat: 20 august 2021. (nedefinit)
↑ Yaglom A. M. Teoria corelației proceselor cu incremente parametrice staționare aleatorii // Culegere matematică. T. 37. Problema. 1. S. 141-197. — 1955.

Literatură

Sveshnikov AA Metode aplicate ale teoriei funcțiilor aleatoare. - Editor-șef de literatură fizică și matematică, 1968.
Baskakov S.I. Circuite și semnale radio/tehnice. - Liceu, 2000.
Natan A. A. , Gorbaciov O. G., Guz S. A. Fundamentele teoriei proceselor aleatorii : manual. manual despre cursul „Procese aleatorii” - M .: MZ Press - MIPT, 2003. - 168 p. ISBN 5-94073-055-8 .
Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Teoria proceselor aleatoare și aplicațiile sale de inginerie. - M. : Nauka, 1991. - 384 p. — ISBN 5-02-014125-9 .
Kulikov EI Metode de măsurare a proceselor aleatorii. - M . : Radio şi comunicare, 1986. - 272 p.
Ralph Dec. Transformări neliniare ale proceselor aleatorii. - M . : Radio sovietică, 19656. - 206 p.

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX4576445 BNF : 119326416 GND : 4057630-9 J9U : 987007536303605171 LCCN : sh85128181 NDL : 00564752 NKC : ph116285