Ergodicitatea

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 13 noiembrie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Ergodicitatea este o proprietate specială a unor sisteme dinamice , constând în faptul că în procesul de evoluție aproape fiecare stare cu o anumită probabilitate trece în apropierea oricărei alte stări a sistemului.

Pentru sistemele ergodice, așteptările matematice pentru seriile de timp trebuie să coincidă cu așteptările matematice pentru seriile spațiale. Adică, pentru a determina parametrii sistemului, se poate observa comportamentul unuia dintre elementele sale pentru o lungă perioadă de timp, sau este posibil să se ia în considerare toate elementele sale (sau destul de multe elemente) într-un timp foarte scurt. Dacă sistemul are proprietatea de ergodicitate, atunci în ambele cazuri se vor obține aceleași rezultate.

Avantajul sistemelor dinamice ergodice este că, cu timp de observare suficient, astfel de sisteme pot fi descrise prin metode statistice . De exemplu, temperatura unui gaz este o măsură a energiei medii a unei molecule. Mai întâi trebuie să dovedim ergodicitatea acestui sistem.

Teoria ergodică este una dintre ramurile dinamicii generale.

Definiție

Fie un spațiu de probabilitate și o mapare care păstrează măsura. $(X,\;\Sigma,\;\mu \,)$ $T:X\la X$

Maparea T este ergodică dacă este îndeplinită următoarea condiție: $\mu$

pentru orice submulțime T -invariantă (adică astfel încât ) fie , fie . $E\in \Sigma$ $T^{-1}(E)=E$ $\mu (E)=0$ $\mu (E)=1$

Note

Definiția este echivalentă cu următoarele condiții,

Pentru orice subset de măsură pozitivă, avem $E\in \Sigma$ $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty}T^{-n}E\right)=1$ ;
Pentru oricare două mulţimi E şi H de măsură pozitivă, există n > 0 astfel încât *: ; $\mu ((T^{-n}E)\cap H)>0$
Orice funcție măsurabilă T -invariantă este constantă aproape peste tot. $f:X\to \mathbb {R}$

Vezi și

Literatură

V. I. Arnold , A. Avets . Probleme ergodice în mecanica clasică . - Moscova-Ijevsk: RHD, 1999.
I. P. Kornfeld, Ya. G. Sinai , S. V. Fomin Teoria ergodică. — M.: Nauka, 1980.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice / trad. din engleza. A. Kononenko cu participarea lui S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .
Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice cu o trecere în revistă a realizărilor recente / Per. din engleza. ed. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .
Khinchin A. Ya. Fundamentele matematice ale mecanicii statistice , M. - L., 1943.
Nemytsky V. V. , Stepanov V. V. Teoria calitativă a ecuațiilor diferențiale , ed. a II-a, M. - L., 1949.
Halmos P. Prelegeri despre teoria ergodică: per. din engleza. - M., 1959.
GD Birkhoff , Proof of the ergodic theorema, (1931), Proc Natl Acad Sci USA, 17 pp 656-660.
J. von Neumann , Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 pp. 70-82.
J. von Neumann , Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 pp. 263-266.

Link -uri

Teoria ergodică // Marea enciclopedie sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.