Sferoidul Maclaurin

Un sferoid Maclaurin este un sferoid oblat care apare atunci când un corp fluid autogravitator cu o distribuție uniformă a densității se rotește cu o viteză unghiulară constantă. Sferoida poartă numele matematicianului scoțian Colin Maclaurin , care a propus această formă a Pământului în 1742 [1] . De fapt, Pământul este mult mai puțin aplatizat, deoarece nu este omogen și are un miez dens de fier. Sferoidul Maclaurin este considerat cel mai simplu model al unei figuri elipsoidale de revoluție în echilibru, deoarece are o densitate constantă.

Formula lui Maclaurin

Pentru un sferoid oblat cu o semiaxă majoră și o semiaxă minoră, viteza unghiulară este dată de formula Maclaurin $A$ $c$ $\Omega$

{\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}} (3-2e^{2})\arcsin e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},

unde este excentricitatea secțiunii meridionale a sferoidului, este densitatea, este constanta gravitațională . Formula prezice două tipuri posibile de figură de echilibru la , unul dintre ele este o sferă ( ), celălalt este un sferoid plat ( ). $e$ $\rho$ $G$ $\Omega \rightarrow 0$ $e\rightarrow 0$ $e\rightarrow 1$

Viteza unghiulară maximă are loc la excentricitate , valoarea pătratului vitezei unghiulare maxime este egală cu , adică peste această viteză, cifra de echilibru nu există. Acest lucru contrazice datele observaționale. Motivul contradicției poate fi prezența a două ipoteze nerealiste: una este că distribuția densității este uniformă, cealaltă este că forma suprafeței este o simplă cvadrică . $e=0{,}92995$ $\Omega ^{2}=0{,}449331\pi G\rho$

Momentul unghiular al unui sferoid Maclaurin este dat de $L$

{\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}})}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac { a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,

unde este masa sferoidului, este raza medie, adică raza unei sfere de același volum cu sferoidul. Într-o expresie mai simplă [3] $M={\frac {4\pi }{3}}\rho a^{3}{\sqrt {1-e^{2)})$ ${\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}$

L={\frac {2}{5}}M\Omega a^{2}.

Energia cinetică a sferoidului [3]

K={\frac {1}{5}}M\Omega ^{2}a^{2}.

Sustenabilitate

Pentru un sferoid Maclaurin cu o excentricitate mai mare de 0,812670 [3] , elipsoidul triaxial Jacobi cu același moment unghiular are o energie totală mai mică. Dacă un astfel de elipsoid constă dintr-un fluid vâscos și nu suferă perturbări care pot rupe simetria rotației, atunci se va întinde și va lua forma unui elipsoid Jacobi, în timp ce o parte din energie va intra într-o formă termică. Pentru un sferoid similar dintr-un fluid neviscid, perturbațiile vor duce la oscilații neamortizate.

Sferoidul Maclaurin cu o excentricitate mai mare de 0,952887 [3] este instabil din punct de vedere dinamic. Chiar dacă obiectul constă dintr-un fluid neviscid și nu pierde energie, micile perturbații vor crește exponențial. Instabilitatea dinamică implică instabilitate seculară [4] .

Note

↑ Maclaurin C. A Treatise of Fluxions: In Two Books. 1. Vol. 1. Ruddimans, 1742.
↑ Chandrasekhar S. Figuri elipsoidale ale echilibrului. Vol. 10. New Haven: Yale University Press, 1969.
↑ 1 2 3 4 Poisson E., Will C. Gravitație : Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic . - Cambridge University Press , 2014. - P. 102-104. — ISBN 1139952390 . Arhivat pe 23 octombrie 2017 la Wayback Machine
↑ Lyttleton RA Stabilitatea maselor lichide rotative . - Cambridge University Press , 1953. - ISBN 9781316529911 .