Suprafata de ordinul doi

O suprafață de ordinul doi este locul punctelor din spațiul tridimensional ale căror coordonate dreptunghiulare satisfac o ecuație de forma

a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{ 14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0

în care cel puțin unul dintre coeficienți , , , , , este diferit de zero. $a_{11}$ $a_{{22}}$ $a_{{33}}$ $a_{{12}}$ $a_{{23}}$ $a_{{13}}$

Tipuri de suprafețe de ordinul doi

Suprafețe cilindrice

O suprafață se numește suprafață cilindrică cu generatoare dacă, pentru orice punct al acestei suprafețe, linia care trece prin acest punct paralel cu generatrice aparține în întregime suprafeței . $S$ ${\vec{l))$ $M_{0}$ ${\vec{l))$ $S$

Teoremă (pe ecuația unei suprafețe cilindrice).
Dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene suprafața are ecuația , atunci este o suprafață cilindrică cu o generatrică paralelă cu axa . $S$ $f(x,y)=0$ $S$ $oz$

Curba dată de ecuație în plan se numește ghidajul suprafeței cilindrice. $f(x,y)=0$ $z=0$

Dacă ghidajul unei suprafeţe cilindrice este dat de o curbă de ordinul doi , atunci o astfel de suprafaţă se numeşte suprafaţă cilindrică de ordinul doi .

Cilindru eliptic:	Cilindru parabolic:	Cilindru hiperbolic:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$y^{2}=2px$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=1$

Pereche de linii potrivite:	Pereche de avioane potrivite:	O pereche de plane care se intersectează:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$	$y^{2}=0$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=0$

Suprafețe conice

O suprafață se numește suprafață conică cu un vârf la , dacă pentru orice punct al acestei suprafețe linia care trece prin și aparține în întregime acestei suprafețe. $S$ $O$ $M_{0}$ $M_{0}$ $O$

Se spune că o funcție este de ordin omogen dacă sunt valabile următoarele: $F(x,y,z)$ $m$ $\forall t\in \mathbb {R} \;\forall x,y,z$ $F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)$

Teorema (pe ecuația unei suprafețe conice).
Dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene suprafața este dată de ecuația , unde este o funcție omogenă, atunci este o suprafață conică cu un vârf la origine. $S$ $F(x,y,z)=0$ $F(x,y,z)$ $S$

Dacă suprafața este dată de o funcție care este un polinom algebric omogen de ordinul doi, atunci se numește suprafață conică de ordinul doi . $S$ $F(x,y,z)$ $S$

Ecuația canonică a conului de ordinul doi are forma:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} {c^{2}}}=0

Suprafețe de revoluție

O suprafață se numește suprafață de revoluție în jurul unei axe dacă, pentru orice punct de pe această suprafață, cercul care trece prin acest punct într-un plan cu centrul la și raza , aparține în întregime acestei suprafețe. $S$ $oz$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ $z=z_{0}$ $(0,0,z_{0})$ $r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2))}$

Teorema (cu privire la ecuația suprafeței de revoluție).
Dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene suprafața este dată de ecuație , atunci este suprafața de revoluție în jurul axei . $S$ $F(x^{2}+y^{2},z)=0$ $S$ $oz$

Elipsoid :	Hiperboloid cu o singură foaie :	Hiperboloid cu două foi:	Paraboloid eliptic :	Paraboloid hiperbolic:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} {c^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} {c^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} {c^{2}}}=-1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$

Dacă , suprafețele enumerate mai sus sunt suprafețe de revoluție. $a=b\neq 0$

Paraboloid eliptic

Ecuația unui paraboloid eliptic are forma

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.

Dacă , atunci paraboloidul eliptic este o suprafață de revoluție formată prin rotația unei parabole, al cărei parametru este , în jurul unei axe verticale care trece prin vârful și focarul acestei parabole. $a=b$ $p=a^{2}=b^{2}$

Intersecția unui paraboloid eliptic cu un plan este o elipsă . $z=z_{0}>0$

Intersecția unui paraboloid eliptic cu un plan sau este o parabolă . $x=x_{0}$ $y=y_{0}$

Paraboloid hiperbolic

Ecuația unui paraboloid hiperbolic are forma

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.

Intersecția unui paraboloid hiperbolic cu un plan este o hiperbolă . $z=z_{0}$

Intersecția unui paraboloid hiperbolic cu un plan sau este o parabolă . $x=x_{0}$ $y=y_{0}$

Având în vedere asemănarea geometrică , un paraboloid hiperbolic este adesea denumit „ șa ”.

Suprafețe centrale

Dacă centrul suprafeței de ordinul doi există și este unic, atunci coordonatele sale pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații: $\left(x_{0},\;y_{0}\;z_{0}\right)$

${\begin{cases}a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}z_{0}+a_{14}=0\\a_{21}x_{0}+ a_{22}y_{0}+a_{23}z_{0}+a_{24}=0\\a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33}z_{ 0}+a_{34}=0\end{cases}}$

Forma matriceală a unei ecuații de suprafață de ordinul doi

Ecuația de suprafață de ordinul doi poate fi rescrisă sub formă de matrice:

{\begin{pmatrix}x&y&z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_ {24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix } }x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=0

De asemenea, puteți separa părțile pătratice și liniare una de cealaltă:

{\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31 }&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}a_{14}&a_{ 24}&a_{34}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+a_{44}=0

Dacă notăm , atunci ecuația ia următoarea formă: $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{pmatrix}}\quad b={\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} }^{T}$

X^{T}AX+2bX+a_{44}=0

Invarianți

Valorile următoarelor mărimi sunt păstrate sub transformări ortogonale ale bazei :

Legat de matrice : $A$
- $I_{1}=\mathrm {tr} \,A$
- $I_{2}={M_{A}}_{1,2}^{1,2}+{M_{A}}_{1,3}^{1,3}+{M_{A}}_ {2,3}^{2,3}$ , unde este minorul de ordinul doi al matricei A situat în rânduri și coloane cu indici i și j. ${M_{A}}_{i,j}^{i,j}$
- $I_{3}=\det A$

Legat de matricea bloc (extinsă) [1] $B={\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&a_{44}\end{pmatrix}}$
- $K_{2}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=i+1}^{4}{M_{B}}_{i,j}^{i,j}$
- $K_{3}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=i+1}^{3}\sum _{k=j+1}^{4}{M_{B} }_{i,j,k}^{i,j,k}$
- $K_{4}=\det B$

Astfel de invarianți sunt uneori numiți și semi-invarianți sau semi-invarianți.

Cu o translație paralelă a sistemului de coordonate, mărimile rămân neschimbate. în care: $I_{1},I_{2},I_{3},K_{4}$

$K_{3}$ rămâne neschimbată numai dacă $I_{2}=I_{3}=K_{4}=0$
$K_{2}$ rămâne neschimbată numai dacă $I_{2}=I_{3}=K_{4}=K_{3}=0$

Clasificarea suprafețelor de ordinul doi în raport cu valorile invarianților

Suprafaţă	Ecuația	Invariante
Elipsoid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} {c^{2}}}=1$	$I_{3}\neq 0$	$I_{2}>0,\quad I_{1}I_{3}>0$	$K_{4}<0$
Elipsoid imaginar	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} {c^{2}}}=-1$			$K_{4}>0$
Punct	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+z^{2}=0$			$K_{4}=0$
Hiperboloid cu o singură foaie	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} {c^{2}}}=1$		$I_{2}=0$ sau $I_{1}I_{3}\leq 0$	$K_{4}>0$
Hiperboloid cu două foi	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} {c^{2}}}=-1$			$K_{4}<0$
Con	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z^{2}=0$			$K_{4}=0$
Paraboloid eliptic	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$	$I_{3}=0$	$K_{4}\neq 0$	$K_{4}<0$
Paraboloid hiperbolic	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$		$K_{4}\neq 0$	$K_{4}>0$
Cilindru eliptic	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$K_{4}=0$	$I_{2}>0$	$I_{1}K_{2}<0$
Cilindru eliptic imaginar	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$				$I_{1}K_{2}>0$
Linie dreaptă (pereche de planuri imaginare care se intersectează)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$				$K_{2}=0$
cilindru hiperbolic	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$			$I_{2}<0$	$K_{2}\neq 0$
O pereche de planuri care se intersectează	${\frac {x^{2}}{a^{2}}} -y^{2}=0$			$I_{2}<0$	$K_{2}=0$
cilindru parabolic	$y^{2}=2px$			$I_{2}=0$	$K_{2}\neq 0$
Pereche de plane paralele	$x^{2}-d^{2}=0$				$K_{2}=0$	$K_{1}<0$
Pereche de planuri paralele imaginare	$x^{2}+d^{2}=0$					$K_{1}>0$
Avion	$x^2=0$					$K_{1}=0$

Note

↑ Alexandrov P. S. Capitolul XIX. Teoria generală a suprafețelor de ordinul doi. // Prelegeri de geometrie analitică. - Nauka, 1968. - S. 504-506. — 911 p.

Literatură

V. A. Ilyin, G. D. Kim. Algebră liniară și geometrie analitică. - M. : Prospekt, 2012. - 400 p.
V. A. Ilyin, E. G. Poznyak. Geometrie analitică. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 p.
P. S. Alexandrov. Curs de Geometrie Analitică și Algebră Liniară. - M. : FIZMATLIT, 1979. - 511 p.
Şal . O revizuire istorică a originii și dezvoltării metodelor geometrice . Ch. 5, § 46-54. M., 1883.