Convergenta in masura

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 28 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Convergența în măsură (în probabilitate) în analiza funcțională , teoria probabilității și disciplinele conexe este un fel de convergență a funcțiilor măsurabile ( variabile aleatoare ) date pe un spațiu cu o măsură ( spațiul probabilității ).

Definiție

Să fie un spațiu cu măsură. Să fie funcții măsurabile pe acest spațiu. Se spune că o secvență de funcții converge în măsură la o funcție dacă $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f$

\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0

Denumire: . $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$

În ceea ce privește teoria probabilității, dacă un spațiu de probabilitate este dat cu variabile aleatoare definite pe el , atunci ei spun că acesta converge în probabilitate la dacă $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X_n,X,\; n=1,2,\ldots$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $X$

\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0

Denumire: . $X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X$

Notă

Definiția convergenței în măsură (în probabilitate) poate fi generalizată la mapări ( elemente aleatorii ) luând valori într-un spațiu metric arbitrar .

Proprietăți ale convergenței în măsură

Teorema (Riess F.): Dacă o succesiune de funcții converge în măsură spre , atunci are o subsecvență care converge către - aproape peste tot . $f_n$ $f$ $f_{n_{k}}$ $f$ $\mu$

Teoremă (criteriul de convergență în măsură): Dacă măsura este finită, atunci o secvență de funcții converge în măsură la dacă și numai dacă pentru orice subsecvență a șirului există o subsecvență care converge aproape peste tot. $f_n$ $f$ $f_n$ $f$

Dacă succesiunea de funcții converge în măsură la , și , unde , atunci , și converg la în . $f_n$ $f$ $\forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g$ $g \in L^p,\; p \geqslant 1$ $f_n, f \in L^p$ $f_n$ $f$ $L^{p}$

Dacă într-un spațiu cu măsură finită o succesiune de funcții converge -aproape peste tot către , atunci converge și în măsură. În general, invers nu este adevărat. $f_n$ $\mu$ $f$

Dacă o succesiune de funcții converge în k , atunci converge și în măsură. În general, invers nu este adevărat. $f_n$ $L^{p}$ $f$

Dacă o secvență de variabile aleatoare converge în probabilitate către , atunci converge către și în distribuție . $X_n$ $X$ $X$
Dacă o secvență de variabile aleatoare converge în probabilitate către , atunci pentru orice funcție continuă este adevărat că . Această afirmație este valabilă pentru orice funcție continuă a mai multor variabile, în special $X_n$ $X$ $f(x)$ $f(X_{n})\la f(X),n\la \infty$ $X_{n}+Y_{n}\la X+Y,n\la \infty$