Numărul Tau

Numărul- tau ( -număr , ing. număr refactorabil ) este un număr întreg divizibil cu numărul divizorilor săi sau, algebric vorbind, astfel încât . Primele câteva numere tau [1] : $\tau$ $n$ $n$ $\tau (n)|n$

1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , 96 .

De exemplu, 18 are șase factori (1 și 18, 2 și 9, 3 și 6) și este divizibil cu 6.

Numerele Tau au o densitate asimptotică de zero. Nu există trei numere întregi consecutive care pot fi numere tau [2] Colton a demonstrat că niciun număr tau nu este perfect . Ecuația (unde este cel mai mare divizor comun și ) are o soluție numai dacă este un număr tau. $(n,x)=\tau (n)$ $(n,x)$ $n$ $X$ $n$

Mai multe probleme rămân nerezolvate cu privire la numerele tau:

dacă există arbitrar mari , pentru care și , și sunt numere tau $n$ $n$ $n+1$
dacă există un număr tau , rezultă că există un număr tau și . $n_{0}\equiv a{\pmod {m)}$ $n>n_{0}$ $n$ $n\equiv a{\pmod {m)}$

Numerele Tau au fost definite pentru prima dată de Curtis Cooper și Robert Kennedy în 1990 [3] , care au descoperit că numerele tau au densitate asimptotică zero. Ele au fost mai târziu redescoperite de Simon Colton folosind un program pe care l-a scris pentru a inventa și a testa diverse definiții în teoria numerelor și teoria grafurilor [4] . Colton a numit aceste numere în engleză. refactorabil . Deși programele de calculator au descoperit dovezi înainte, aceasta a fost prima dată când un program a găsit o idee nouă sau neobservată anterior. Colton a demonstrat multe rezultate despre numerele tau, arătând infinitatea numărului lor și câteva condiții pentru distribuția lor.

Note

↑ Secvența OEIS A033950 _
↑ J. Zelinsky, Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results Arhivat 11 noiembrie 2020 la Wayback Machine // Journal of Integer Sequences , Vol. 5 (2002), articolul 02.2.8
↑ Cooper, CN și Kennedy, RE Tau Numbers, Natural Density și Teorema lui Hardy și Wright 437 // Internat. J Math. Matematică. sci. 13, 383-386, 1990
↑ S. Colton, Numerele refactorabile - A Machine Invention Arhivat 27 iulie 2020 la Wayback Machine // Journal of Integer Sequences , Vol. 2 (1999), articolul 99.1.2