Corp de lățime constantă

Un corp de lățime constantă este un corp convex a cărui proiecție ortogonală pe orice linie dreaptă este un segment de lungime constantă. Lungimea acestui segment se numește lățimea corpului dat. Cel mai simplu exemplu de corp de lățime constantă este o minge . Dar, pe lângă minge, există o infinitate de alte corpuri (nu neapărat netede ) de lățime constantă - de exemplu, un corp a cărui suprafață este obținută prin rotirea triunghiului Reuleaux în jurul uneia dintre axele sale de simetrie.

Proprietăți

• Clasa corpurilor de lățime constantă coincide cu clasa corpurilor convexe de acoperire constantă , pentru care limitele proiecțiilor ortogonale pe toate planurile posibile au aceeași lungime.

Probleme deschise

• Nu se știe care corp de lățime constantă are cel mai mic volum ( ipoteza Bonnesen-Fenchel ). [1] [2] [3]
• Aproape nimic nu se știe despre asimptoticele celui mai mic volum de corpuri de lățime 1, cu dimensiuni care tind spre infinit. [patru]

Variații și generalizări

• Un corp se numește rotor al unui poliedru K dacă se poate roti liber în K atingând toate fețele sale de codimensiunea 1. De exemplu, orice corp de lățime constantă este rotorul unui cub.
  • Este descris orice poliedru care are un rotor.
  • Poliedrele obișnuite au rotoare non-triviale, adică sunt diferite de o minge. [5] [6]

Notă

Contrar credinței populare, tetraedrul Reuleaux nu este un corp de lățime constantă.

Vezi și

• Curbă de lățime constantă

Literatură

• Blaschke V. Krug i shar / Per. cu el. V. A. Zalgaller și S. I. Zalgaller. — M .: Nauka , 1967. — 232 p. - 140.000 de exemplare.

Note

1. ↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1934. - S. 127-139. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1).  (Limba germana)
2. ↑ Kawohl B. Seturi convexe de lățime constantă  //  Rapoarte Oberwolfach. - Zurich : Editura Societății Europene de Matematică, 2009. - Vol. 6, nr. 1 . - P. 390-393. Arhivat din original pe 2 iunie 2013.
3. ↑ Anciaux H., Guilfoyle B. On the Three-Dimensional Blaschke-Lebesgue Problem  //  Proceedings of the American Mathematical Society. - Providence : Societatea Americană de Matematică , 2011. - Vol. 139, nr. 5 . - P. 1831-1839. — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 . arXiv : 0906.3217
4. ↑ Gil Kalai, Volumes of Sets of Constant Width in High Dimensions .
5. ↑ Rolf Schneider, The use of spherical harmonics in convex geometry Arhivat 27 martie 2016 la Wayback Machine (Școala de vară despre „Fourier analytic and probabilistic methods in geometric functional analysis and convexity”, Kent State University, 13-20 august 2008)
6. ↑ Michael Goldberg, „Rotors in Polygons and Polyhedra”, Mathematics of Computation, vol. 14, nr. 71 (iulie, 1960), pp. 229-239.