Triunghiul Reuleaux

Triunghiul Reuleaux [* 1] este aria de intersecție a trei cercuri egale cu centrele la vârfurile unui triunghi regulat și cu raze egale cu latura sa [1] [2] . Curba închisă nenetedă care delimitează această cifră este numită și triunghiul Reuleaux.

Triunghiul Reuleaux este cea mai simplă figură de lățime constantă după cercul [1] . Adică dacă o pereche de linii de referință paralele [* 2] este trasată la triunghiul Reuleaux , atunci distanța dintre ele nu va depinde de direcția aleasă [3] . Această distanță se numește lățimea triunghiului Reuleaux.

Printre alte figuri de lățime constantă, triunghiul Reuleaux se distinge printr-o serie de proprietăți extreme: cea mai mică zonă [1] , cel mai mic unghi posibil la vârf [4] , cea mai mică simetrie în jurul centrului [5] . Triunghiul a devenit larg răspândit în tehnologie - pe baza acestuia, mecanismele cu came și clapeta , motorul cu piston rotativ Wankel și chiar au fost create burghie care permit găurirea ( frezarea ) găurilor pătrate [6] .

Numele figurii provine de la numele de familie al mecanicului german Franz Rehlo . El a fost probabil primul care a investigat proprietățile acestui așa-numit triunghi curbiliniu; l-a folosit și în mecanismele sale [7] .

Istorie

Reuleaux nu este descoperitorul acestei figuri, deși a studiat-o în detaliu. În special, el a luat în considerare întrebarea câte contacte (în perechi cinematice ) sunt necesare pentru a preveni mișcarea unei figuri plate și, folosind exemplul unui triunghi curbat înscris într- un pătrat , a arătat că chiar și trei contacte ar putea să nu fie suficiente. pentru a preveni rotirea figurii. [8] .

Unii matematicieni cred că Leonhard Euler a fost primul care a demonstrat ideea unui triunghi cu arce egale de cerc în secolul al XVIII-lea [9] . Cu toate acestea, o figură similară se găsește mai devreme, în secolul al XV-lea: Leonardo da Vinci a folosit-o în manuscrisele sale . Triunghiul Reuleaux se află în manuscrisele sale A și B, păstrate la Institut de France [10] , precum și în Codex Madrid [9] .

În jurul anului 1514, Leonardo da Vinci a creat una dintre primele hărți ale lumii de acest gen . Suprafața globului de pe el a fost împărțită de ecuator și două meridiane (unghiul dintre planurile acestor meridiane este de 90 °) în opt triunghiuri sferice , care au fost arătate pe planul hărții de triunghiuri Reuleaux, colectate patru în jurul stâlpi [11] .

Chiar mai devreme, în secolul al XIII-lea, creatorii Bisericii Maicii Domnului din Bruges au folosit triunghiul Reuleaux ca formă pentru unele dintre ferestre [9] .

Proprietăți

Triunghiul Reuleaux este o figură geometrică convexă plată [12] .

Caracteristici geometrice de bază

Dacă lățimea triunghiului Reuleaux este , atunci aria sa este [13]

perimetru

raza cercului înscris

iar raza cercului circumscris

. Simetrie

Triunghiul Reuleaux are simetrie axială . Are trei axe de simetrie de ordinul doi, fiecare trecând prin vârful triunghiului și mijlocul arcului opus, precum și o axă de simetrie de ordinul al treilea, perpendiculară pe planul triunghiului și care trece prin centrul său [* 3] . Astfel, grupul de simetrie al triunghiului Reuleaux constă din șase mapări (inclusiv identitatea ) și este același cu grupul de simetrie al unui triunghi regulat .

Construire cu busolă

Triunghiul Reuleaux poate fi construit doar cu o busolă , fără a recurge la o riglă . Această construcție se reduce la desenul succesiv a trei cercuri egale . Centrul primului este ales arbitrar, centrul celui de-al doilea poate fi orice punct al primului cerc, iar centrul celui de-al treilea poate fi oricare dintre cele două puncte de intersecție ale primelor două cercuri.

Proprietăți comune tuturor formelor de lățime constantă

Deoarece triunghiul Reuleaux este o figură de lățime constantă, are toate proprietățile generale ale figurilor acestei clase. În special,

  • cu fiecare dintre liniile sale de sprijin triunghiul Reuleaux are un singur punct comun [14] ;
  • distanța dintre oricare două puncte din lățimea triunghiului Reuleaux nu poate depăși [15] ;
  • segmentul care leagă punctele de contact a două linii de referință paralele cu triunghiul Reuleaux este perpendicular pe aceste linii de referință [16] ;
  • prin orice punct al limitei triunghiului Reuleaux trece cel puțin o linie de referință [17] ;
  • prin fiecare punct al limitei triunghiului Reuleaux trece un cerc de rază [* 4] , iar linia de referință trasată la triunghiul Reuleaux prin punctul este tangentă la acest cerc [18] ;
  • raza unui cerc care are cel puțin trei puncte comune cu limita triunghiului Reuleaux de lățime nu depășește [19] ;
  • conform teoremei lui Hanfried Lenz privind seturile de lățime constantă, triunghiul Reuleaux nu poate fi împărțit în două figuri al căror diametru ar fi mai mic decât lățimea triunghiului însuși [20] [21] ;
  • triunghiul Reuleaux, ca orice altă figură de lățime constantă, poate fi înscris într-un pătrat [22] , precum și într-un hexagon regulat [23] ;
  • prin teorema lui Barbier , formula pentru perimetrul triunghiului Reuleaux este valabilă pentru toate figurile de lățime constantă [24] [25] [26] .

Proprietăți extreme

Cea mai mică zonă

Dintre toate figurile de lățime constantă , triunghiul Reuleaux are cea mai mică zonă [1] . Această afirmație se numește teorema Blaschke-Lebesgue [27] [28] (după numele geometrului german Wilhelm Blaschke , care a publicat teorema în 1915 [29] , și matematicianului francez Henri Lebesgue , care a formulat-o în 1914 [30] ] ). În diferite momente, variante ale demonstrației sale au fost propuse de Matsusaburo Fujiwara (1927 și 1931) [31] [32] , Anton Mayer (1935) [33] , Harold Eggleston (1952) [34] , Abram Besikovici (1963) [35] ] , Donald Chakerian (1966) [36] , Evans Harrell (2002) [37] și alți matematicieni [5] .

Pentru a găsi aria unui triunghi Reuleaux, puteți adăuga aria triunghiului echilateral interior

și aria celor trei segmente circulare identice rămase bazate pe un unghi de 60 °

acesta este

[38]

O figură care are proprietatea extremă opusă este un cerc . Dintre toate figurile cu o lățime constantă dată, aria sa este

maxim [39] [* 5] . Aria triunghiului Reuleaux corespunzător este mai mică cu ≈10,27%. În aceste limite se află zonele tuturor celorlalte figuri cu o lățime constantă dată.

Cel mai mic unghi

Prin fiecare vârf al triunghiului Reuleaux, spre deosebire de restul punctelor sale de limită, nu există o singură linie de referință , ci un număr infinit de linii de referință. Intersectându-se în partea de sus, ele formează un „mănunchi”. Unghiul dintre liniile drepte extreme ale acestui „mănunchi” se numește unghiul de vârf . Pentru figurile de lățime constantă, unghiul la vârfuri nu poate fi mai mic de 120°. Singura figură de lățime constantă care are unghiuri de exact 120° este triunghiul Reuleaux [4] .

Cea mai mică simetrie centrală

Dintre toate figurile de lățime constantă, triunghiul Reuleaux are cel mai mic grad de simetrie centrală [5] [40] [41] [42] [43] . Există mai multe moduri diferite de a defini gradul de simetrie al unei figuri. Una dintre ele este măsura Kovner-Besikovici. În cazul general, pentru o figură convexă, este egală cu

unde  este aria figurii, este figura convexă simetrică central cu aria maximă  conținută în . Pentru triunghiul Reuleaux, o astfel de figură este un hexagon cu laturile curbe, care este intersecția acestui triunghi Reuleaux cu imaginea sa cu simetrie centrală în jurul centrului său [* 3] . Măsura Kovner-Besicovich pentru triunghiul Reuleaux este

[5] [40]

O altă modalitate este măsura Estermann

unde  este cifra care conține simetrică centrală a ariei minime. Pentru un triunghi Reuleaux  , acesta este un hexagon regulat , deci măsura Estermann este

[5] [36]

Pentru figurile simetrice central, măsurile Kovner-Besikovici și Estermann sunt egale cu unul. Dintre figurile de lățime constantă, doar cercul [25] are simetrie centrală , care (împreună cu triunghiul Reuleaux) limitează gama de valori posibile ale simetriei lor.

Rolling pătrat

Orice figură de lățime constantă este înscrisă într-un pătrat cu latura egală cu lățimea figurii, iar direcția laturilor pătratului poate fi aleasă în mod arbitrar [22] [* 6] . Triunghiul Reuleaux nu face excepție, este înscris într-un pătrat și se poate roti în el, atingând constant toate cele patru laturi [44] .

Fiecare vârf al triunghiului în timpul rotației sale „trece” aproape întregul perimetru al pătratului, deviând de la această traiectorie doar în colțuri - acolo vârful descrie arcul unei elipse . Centrul acestei elipse este situat în colțul opus al pătratului, iar axele sale majore și minore sunt rotite la un unghi de 45 ° față de laturile pătratului și sunt egale.

unde  este lățimea triunghiului [45] . Fiecare dintre cele patru elipse atinge două laturi adiacente ale pătratului la distanță

din colț [38] .

Centrul triunghiului Reuleaux în timpul rotației se mișcă de-a lungul unei traiectorii formate din patru arce identice de elipse. Centrele acestor elipse sunt situate la vârfurile pătratului, iar axele sunt rotite la un unghi de 45 ° față de laturile pătratului și sunt egale cu

[45] .

Uneori, pentru mecanismele care implementează o astfel de rotație a unui triunghi în practică, nu se alege o lipire a patru arce de elipse, ci un cerc apropiat de acesta ca traiectorie a centrului [46] .

Aria fiecăruia dintre cele patru colțuri neafectate de rotație este egală cu

[47]

și scăzându-le din aria pătratului, puteți obține aria figurii pe care o formează triunghiul Reuleaux atunci când se rotește în el.

[38] [47] [48]

Diferența cu aria pătrată este ≈1,2%, prin urmare, pe baza triunghiului Reuleaux, se creează burghie care fac posibilă obținerea unor găuri aproape pătrate [45] .

Aplicație

Găurirea găurilor pătrate în secțiune transversală pe axa găurilor de tăiere

„Am auzit cu toții de chei concepute pentru nuci pentru stângaci , țevi de apă înnodate și banane din fontă. Am considerat astfel de lucruri drept niște mărțișoare ridicole și am refuzat chiar să credem că le vom întâlni vreodată în realitate. Și dintr-o dată apare un instrument care vă permite să găuriți găuri pătrate!

Flyer
Watts Brothers Tool Works [49] [* 7]

Un tăietor cu o secțiune sub forma unui triunghi Reuleaux și cu lame de tăiere care coincid cu vârfurile sale face posibilă obținerea de găuri aproape pătrate. Diferența dintre astfel de găuri dintr-un pătrat în secțiune transversală este doar în colțurile ușor rotunjite [50] . O altă caracteristică a unui astfel de tăietor este că axa sa în timpul rotației nu ar trebui să rămână pe loc, așa cum este cazul burghiilor elicoidale tradiționale, ci descrie o curbă în planul secțiunii, constând din patru arce de elipse . Prin urmare, mandrina , în care este prins cuțitul, și suportul sculei nu trebuie să interfereze cu această mișcare [45] .

Pentru prima dată, Harry Watts, un inginer englez care lucrează în SUA , a reușit să implementeze un astfel de design de suport de scule . Pentru a face acest lucru, a folosit o placă de ghidare cu un orificiu în formă de pătrat, în care un burghiu se putea deplasa radial, prins într-o „mandrina plutitoare” [50] . Brevetele pentru mandrina [51] și burghiu [52] au fost obținute de Watts în 1917. Noile burghie au fost vândute de Watts Brothers Tool Works [53] [54] . Un alt brevet american pentru o invenție similară a fost eliberat în 1978 [55] .

Motor Wankel

Un alt exemplu de utilizare poate fi găsit în motorul Wankel : rotorul acestui motor este realizat sub forma unui triunghi Reuleaux [6] . Se rotește în interiorul camerei a cărei suprafață este realizată în funcție de epitrocoid [56] . Arborele rotorului este legat rigid de roata dinţată , care este cuplată cu o roată dinţată fixă ​​. Un astfel de rotor triedric se rostogolește în jurul angrenajului, atingând tot timpul pereții interiori ai motorului cu vârfurile și formând trei regiuni de volum variabil , fiecare dintre acestea fiind, la rândul lor, o cameră de ardere [6] . Datorită acestui lucru, motorul efectuează trei cicluri complete de lucru într-o singură rotație.

Motorul Wankel permite efectuarea oricărui ciclu termodinamic în patru timpi fără utilizarea unui mecanism de distribuție a gazului . Formarea amestecului, aprinderea , lubrifierea, răcirea și pornirea în acesta sunt în principiu aceleași ca în motoarele cu combustie internă alternativă convenționale [56] .

Mecanism cu clapetă

O altă aplicație a triunghiului Reuleaux în mecanică este un mecanism de tip clapetă care mișcă filmul cadru cu cadru în proiectoarele de film . Prinderea proiectorului Luch-2, de exemplu, se bazează pe triunghiul Reuleaux, care este înscris într-un cadru pătrat fixat pe un paralelogram dublu . Rotindu-se in jurul arborelui de antrenare , triunghiul misca cadrul cu dintele situat pe el . Dintele intră în perforația filmului, îl trage în jos un cadru și iese înapoi, apoi urcând la începutul ciclului. Traiectoria sa este cu cât mai aproape de pătrat, cu atât axul este mai aproape de vârful triunghiului (în mod ideal, traiectoria pătrată ar permite proiectarea cadrului pentru ¾ din ciclu) [6] [57] [58] .

Există un alt design grapple, bazat tot pe triunghiul Reuleaux. Ca și în primul caz, cadrul acestui prindere efectuează o mișcare alternativă, dar este deplasat nu de una, ci de două came , a căror funcționare este sincronizată cu ajutorul unui tren dințat [28] .

Capace de canal

Capacele găurilor de vizitare pot fi realizate în formă de triunghi Reuleaux  - datorită lățimii constante, nu pot cădea în trapă [59] .

În San Francisco , pentru un sistem de recuperare a apei , corpurile căminelor de vizitare au forma unui triunghi Reuleaux, dar capacele lor sunt formate ca triunghiuri echilaterale.

Mecanism cu came

Triunghiul Reuleaux a fost folosit în mecanismele cu came ale unor motoare cu abur de la începutul secolului al XIX-lea . În aceste mecanisme, mișcarea de rotație a manivelei rotește triunghiul Reuleaux atașat tijei de împingere prin pârghii de transmisie, ceea ce face ca tija de împingere să se mire [63] . Conform terminologiei lui Reuleaux , această legătură formează o pereche cinematică „superioară” , deoarece contactul legăturilor are loc de-a lungul liniei, și nu de-a lungul suprafeței [64] . În astfel de mecanisme cu came, împingătorul, când ajunge în poziția extremă dreaptă sau stângă, rămâne nemișcat pentru un timp finit [63] [10] .

Triunghiul Reuleaux a fost folosit anterior pe scară largă în mecanismele cu came ale mașinilor de cusut în zig -zag.

Triunghiul Reuleaux a fost folosit ca came de către ceasornicarii germani în mișcarea ceasului de mână A. Lange & Söhne „Lange 31” [65] .

Patinoar

Pentru a muta obiecte grele pe distanțe scurte, puteți utiliza nu numai roți, ci și structuri mai simple, de exemplu, role cilindrice [66] . Pentru a face acest lucru, sarcina trebuie plasată pe un suport plat montat pe role și apoi împinsă. Pe măsură ce rolele din spate devin libere, acestea trebuie transportate și plasate în față [67] [66] . Omenirea a folosit această metodă de transport înainte de inventarea roții .

În această mișcare, este important ca sarcina să nu se miște în sus și în jos, deoarece scuturarea va necesita un efort suplimentar din partea împingătorului [67] . Pentru ca mișcarea de-a lungul rolelor să fie rectilinie , secțiunea lor transversală trebuie să fie o cifră de lățime constantă [67] [68] . Cel mai adesea, secțiunea era un cerc , deoarece buștenii obișnuiți serveau drept role . Totuși, o secțiune sub forma unui triunghi Reuleaux va fi la fel de bună [ clarifica ] și va permite deplasarea obiectelor în aceeași linie dreaptă [6] [67] .

Deși rolele în formă de triunghi Reuleaux permit deplasarea lină a obiectelor, această formă nu este potrivită pentru fabricarea roților, deoarece triunghiul Reuleaux nu are o axă fixă ​​de rotație [69] .

Pletru

Triunghiul Reuleaux este o formă comună de plectru (picătură): o placă subțire concepută pentru a cânta pe corzile instrumentelor muzicale ciupite .

În design

Triunghiul Reuleaux este folosit ca element în siglele companiilor și organizațiilor, de exemplu: FINA ( Petrofina ) [70] , Bavaria [71] , Colorado School of Mines [72] .

În SUA , sistemul național de trasee și sistemul de trasee pentru biciclete sunt decorate cu triunghiuri Reuleaux [73] .

Forma butonului central al smartphone-ului Samsung Corby este un triunghi Reuleaux imbricat într-un cadru argintiu de aceeași formă. Butonul central, conform experților, este principalul element de design al părții frontale a lui Corby [74] [75] .

Triunghiul Reuleaux în artă

Arhitectură

Forma triunghiului Reuleaux este folosită și în scopuri arhitecturale . Construcția celor două arce ale sale formează un arc ascuțit caracteristic stilului gotic , dar este destul de rar în întregime în clădirile gotice [76] [77] . Ferestre în formă de triunghi Reuleaux pot fi găsite în Biserica Maicii Domnului din Bruges [9] precum și în Biserica Scoțiană din Adelaide [77] . Ca element ornamental , se găsește pe barele ferestrei abației cisterciene din comuna elvețiană Hauterives [76] .

Triunghiul Reuleaux este folosit și în arhitectura non-gotică. De exemplu, construit în 2006 la Köln , un turn de 103 metri numit „ Triunghiul Köln ” în secțiune transversală este exact această cifră [78] .

Unele cazuri de utilizare
Fereastra Bisericii Maicii Domnului din Bruges Fereastra Catedralei Sfântul Salvator din Bruges Fereastra Catedralei Notre Dame " Triunghiul Köln "
Fereastra bisericii Sfântul Mihail din Luxemburg Fereastra Bisericii Maicii Domnului din Bruges Fereastra Catedralei Sfinții Mihail și Gudula din Bruxelles Fereastra Catedralei Sfântul Bavo din Gent
Vezi și categoria „ Triunghiuri Reuleaux în arhitectură ” la Wikimedia Commons

Forma și culoare

Conform cursului anterior al lui Johannes Itten , în modelul de corespondență „ideal” , o parte a spectrului fiecărei culori este în aceeași formă (figura geometrică). Culoarea verde este un „derivat”: rezultatul amestecării albastrului transparent și galben deschis (fără a include cele acromatice ), și deoarece în acest model corespund unui cerc și unui triunghi regulat, este figura numită de I. Itten a triunghi sferic, triunghiul Reuleaux, care corespunde verde.

Literatură

În nuvela științifico-fantastică a lui Poul Anderson „ Roata triunghiulară” [79] , un echipaj de pământeni a aterizat pe o planetă a cărei populație nu folosea roți , deoarece totul era sub interdicție religioasă. La sute de kilometri de locul de aterizare, expediția terestră anterioară a părăsit un depozit cu piese de schimb, dar a fost imposibil să transferați generatorul nuclear de două tone necesar navei de acolo fără niciun mecanism. Drept urmare, pământenii au reușit să respecte tabuul și să transporte generatorul folosind role cu o secțiune sub forma unui triunghi Reuleaux.

Variații și generalizări

Poligonul Reuleaux

Ideea de bază a triunghiului Reuleaux poate fi generalizată folosind pentru a crea o curbă de lățime constantă nu un triunghi echilateral , ci un poligon stelat format din segmente de linie de lungime egală [80] . Dacă din fiecare vârf al unui poligon în formă de stea desenăm un arc de cerc care leagă două vârfuri adiacente , atunci curba închisă de lățime constantă rezultată va consta dintr-un număr finit de arce de aceeași rază [80] . Astfel de curbe (precum și figurile delimitate de ele) se numesc poligoane Reuleaux [81] [82] .

O familie de poligoane Reuleaux de o anumită lățime formează o submulțime densă peste tot în mulțimea tuturor curbelor de lățime constantă (cu metrica Hausdorff ) [81] . Cu alte cuvinte, cu ajutorul lor este posibil să se aproximeze orice curbă de lățime constantă în mod arbitrar cu precizie [83] [82] .

Printre poligoane Reuleaux, există o clasă de curbe construite pe baza poligoanelor stelate regulate. Această clasă se numește poligoane Reuleaux obișnuite . Toate arcele care alcătuiesc un astfel de poligon au nu numai aceeași rază, ci și aceeași lungime [84] [* 8] . Triunghiul Reuleaux, de exemplu, este corect. Dintre toate poligoanele Reuleaux cu un număr fix de laturi și aceeași lățime, poligoanele regulate înglobează cea mai mare zonă [84] [85] .

Forma unor astfel de poligoane este folosită în monedă : monedele unui număr de țări (în special 20 [86] și 50 pence [87] Marea Britanie ) sunt făcute sub forma unui heptagon obișnuit Reuleaux. Există o bicicletă realizată de un ofițer chinez , ale cărei roți au forma unui triunghi obișnuit și a unui pentagon Reuleaux [88] .

Analogii 3D

Analogul tridimensional al triunghiului Reuleaux ca intersecția a trei cercuri este tetraedrul Reuleaux  - intersecția a patru bile identice , ale căror centre sunt situate la vârfurile unui tetraedru regulat , iar razele sunt egale cu latura lui acest tetraedru. Cu toate acestea, tetraedrul Reuleaux nu este un solid de lățime constantă : distanța dintre punctele medii ale muchiilor curbilinii opuse care leagă vârfurile sale este

ori mai mare decât marginea tetraedrului regulat original [89] [90] .

Cu toate acestea, tetraedrul Reuleaux poate fi modificat astfel încât corpul rezultat să fie un corp de lățime constantă. Pentru a face acest lucru, în fiecare dintre cele trei perechi de muchii curbilinii opuse, o muchie este „netezită” într-un anumit mod [90] [91] . Două solide diferite obținute în acest fel (cele trei muchii pe care au loc înlocuirile pot fi luate fie ieșind din același vârf, fie formând un triunghi [91] ) se numesc solide Meissner , sau tetraedre Meissner [89] . Ipoteza formulată de Tommy Bonnesen și Werner Fenchel în 1934 [92] afirmă că aceste corpuri sunt cele care minimizează volumul dintre toate corpurile cu o lățime constantă dată, dar (din 2011) această ipoteză nu a fost dovedită [93]. ] [94] .

În sfârșit, corpul de revoluție obținut prin rotirea triunghiului Reuleaux în jurul uneia dintre axele sale de simetrie de ordinul doi este un corp de lățime constantă. Are cel mai mic volum dintre toate corpurile de revoluție de lățime constantă [90] [95] [96] .

Comentarii

  1. ↑ Există și alte variante ale transcripției prenumelui Reuleaux. De exemplu, I. M. Yaglom și V. G. Boltyansky în cartea „Figuri convexe” îl numesc „triunghiul Rello”.
  2. ↑ Linia de referință trece printr-un punct al graniței figurii fără a împărți figura în părți.
  3. ↑ 1 2 Centrul unui triunghi Reuleaux este punctul de intersecție al tuturor medianelor , bisectoarelor și înălțimii triunghiului său regulat.
  4. ↑ Pentru un triunghi Reuleaux, acest cerc coincide cu unul dintre cele trei cercuri care formează limita sa.
  5. ↑ Această afirmație rezultă din combinarea a două teoreme - problema clasică izoperimetrică a lui Dido și teorema lui Barbier .
  6. ↑ Această proprietate caracterizează pe deplin figurile de lățime constantă. Cu alte cuvinte, orice figură în jurul căreia pătratul descris poate fi „rotit” va fi o figură de lățime constantă.
  7. ↑ Original - „Cu toții am auzit despre chei de maimuță pentru stângaci, căzi căptușite cu blană, banane din fontă. Cu toții am clasificat aceste lucruri cu ridicol și am refuzat să credem că așa ceva s-ar putea întâmpla vreodată și chiar atunci vine o unealtă care face găuri pătrate!"
  8. ↑ Cu alte cuvinte, unghiurile centrale ale acestor arce sunt egale.

Note

  1. ↑ 1 2 3 4 Sokolov D. D. O curbă de lățime constantă // Enciclopedia matematică / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4. - S. 519. - 608 p. — 150.000 de exemplare.
  2. ↑ Yaglom, Boltyansky. Cifre convexe, 1951 , p. 91.
  3. ↑ Yaglom, Boltyansky. Cifre convexe, 1951 , p. 90.
  4. ↑ 1 2 Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 206-207.
  5. ↑ 1 2 3 4 5 Finch SR Reuleaux Constante triunghiulare // Constante matematice . - Cambridge : Cambridge University Press, 2003. - P.  513-515 . — 624 p. - (Enciclopedia Matematicii si aplicatiile sale, Vol. 94). - ISBN 0-5218-1805-2 .  (Engleză)
  6. ↑ 1 2 3 4 5 Andreev N. N. Triunghi Reuleaux rotund . Studii matematice . Preluat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original la 23 mai 2012.
  7. ↑ Pickover CA Triunghiul Reuleaux // Cartea de matematică: de la Pitagora la dimensiunea a 57-a, 250 de repere în istoria matematicii . — New York ; Londra : Sterling, 2009. - P.  266-267 . — 528 p. — ISBN 1-4027-5796-4 .  (Engleză)
  8. ↑ Luna. Mașinile lui Leonardo Da Vinci și Franz Reuleaux, 2007 , p. 240.
  9. ↑ 1 2 3 4 Taimina D. , Henderson D.W. Triunghiul Reuleaux  . Modele cinematice pentru biblioteca digitală de proiectare . Universitatea Cornell . Preluat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original la 10 mai 2012.
  10. ↑ 12 Luna . Mașinile lui Leonardo Da Vinci și Franz Reuleaux, 2007 , p. 241.
  11. ↑ Snyder Apariția proiecțiilor hărților: clasică până la Renaștere // Aplatizarea pământului: două mii de ani de proiecții hărți. — Chicago ; Londra : University of Chicago Press, 1997. - P. 40. - 384 p. — ISBN 0-2267-6747-7 .  (Engleză)
  12. ↑ Curba de lățime constantă // Dicționar enciclopedic matematic / Cap. ed. Iu. V. Prohorov . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1988. - S.  478 . — 847 p. — 150.000 de exemplare.
  13. ↑ WolframAlpha : Triunghiul  Reuleaux . wolframalpha . Cercetarea Wolfram. Preluat: 18 noiembrie 2011.  (link inaccesibil)
  14. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 201.
  15. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 201-202.
  16. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 202-203.
  17. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 203.
  18. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 203-204.
  19. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 204-206.
  20. ↑ Lenz H. Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers  (germană)  // Archiv der Mathematik. - Basel : Birkhäuser Verlag, 1955. - Bd. 6 , nr. 5 . - S. 413-416 . — ISSN 0003-889X . - doi : 10.1007/BF01900515 .
  21. ↑ Problema lui Raigorodsky A. M. Borsuk. Anvelope universale  // Educație matematică . - M . : MTSNMO , 2008. - Numărul. 12 . - S. 216 . — ISBN 978-5-94057-354-8 . Arhivat din original pe 16 septembrie 2011.
  22. ↑ 1 2 Yaglom, Boltyansky. Cifre convexe, 1951 , p. 92.
  23. ↑ Eggleston. Convexitate, 1958 , p. 127-128.
  24. ↑ Barbier E. Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert  (franceză)  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - Paris : Imprimerie de Mallet-Hachelier, 1860. - Vol. 5 . - P. 273-286 . — ISSN 0021-7824 .  (link indisponibil)
  25. ↑ 1 2 Bogomolny A. Teorema lui  Barbier . Tăiați Nodul . Preluat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original la 23 mai 2012.
  26. ↑ Eggleston. Convexitate, 1958 , p. 127.
  27. ↑ Eggleston. Convexitate, 1958 , p. 128-129.
  28. ↑ 1 2 Berger M. Geometrie = Géométrie / Per. din franceza Yu. N. Sudareva, A. V. Pajitnova, S. V. Chmutova. - M .: Mir , 1984. - T. 1. - S. 529-531. — 560 p.
  29. ↑ Blaschke W. Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts  (germană)  // Mathematische Annalen . - Leipzig : Druck und Verlag von BG Teubner, 1915. - Bd. 76 , nr. 4 . - S. 504-513 . — ISSN 0025-5831 . - doi : 10.1007/BF01458221 .
  30. ↑ Lebesgue H. Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constant  (franceză)  // Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes Rendus des Séances. - 1914. - Vol. 42 . - P. 72-76 . Arhivat din original pe 28 noiembrie 2016.
  31. ↑ Fujiwara M. Dovada analitică a teoremei lui Blaschke asupra curbei lățimii constante cu arie minimă  //  Proceedings of the Imperial Academy. - Tokyo : Academia Japoniei, 1927. - Vol. 3 , nr. 6 . - P. 307-309 . — ISSN 0369-9846 . doi : 10.2183 /pjab1912.3.307 .
  32. ↑ Fujiwara M. Dovada analitică a teoremei lui Blaschke asupra curbei lățimii constante cu arie minimă, II  //  Proceedings of the Imperial Academy. - Tokyo : Academia Japoniei, 1931. - Vol. 7 , nr. 8 . - P. 300-302 . — ISSN 0369-9846 . doi : 10.2183 /pjab1912.7.300 .
  33. ↑ Mayer A.E. Der Inhalt der Gleichdicke: Abschätzungen für ebene Gleichdicke  (germană)  // Mathematische Annalen . - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1935. - Bd. 110 , nr. 1 . - S. 97-127 . — ISSN 0025-5831 . - doi : 10.1007/BF01448020 .
  34. ↑ Eggleston HG O dovadă a teoremei lui Blaschke asupra triunghiului Reuleaux  //  Quarterly Journal of Mathematics. - Londra : Oxford University Press , 1952. - Vol. 3 , nr. 1 . - P. 296-297 . — ISSN 0033-5606 . - doi : 10.1093/qmath/3.1.296 .
  35. ↑ Besicovitch AS Aria minimă a unui set de lățime constantă  //  Proceedings of Symposias in Pure Mathematics. - Providence : Societatea Americană de Matematică , 1963. - Vol. 7 (Convexitate) . - P. 13-14 . - ISBN 0-8218-1407-9 . — ISSN 0082-0717 .
  36. ↑ 1 2 Chakerian GD Seturi de lățime constantă  // Pacific  Journal of Mathematics . - Berkeley : Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1966. - Vol. 19 , nr. 1 . - P. 13-21 . — ISSN 0030-8730 . Arhivat din original pe 4 martie 2016.
  37. ↑ Harrell EM A Direct Proof of a Theorem of Blaschke and Lebesgue  //  Journal of Geometric Analysis. —Sf . Louis : Mathematica Josephina, 2002. - Vol. 12 , nr. 1 . - P. 81-88 . — ISSN 1050-6926 . - doi : 10.1007/BF02930861 . arXiv : math.MG/0009137
  38. ↑ 1 2 3 Weisstein E.W. Triunghiul  Reuleaux . Wolfram mathworld . Consultat la 6 noiembrie 2011. Arhivat din original la 2 aprilie 2019.
  39. ↑ Boltyansky V. G. Despre rotația unui segment  // Kvant . - M . : Nauka , 1973. - Nr 4 . - S. 29 . — ISSN 0130-2221 . Arhivat din original pe 26 noiembrie 2007.
  40. ↑ 1 2 Besicovitch AS Măsurarea asimetriei curbelor convexe (II): Curves of Constant Width  //  Journal of the London Mathematical Society. - Oxford : Oxford University Press , 1951. - Vol. 26 , nr. 2 . - P. 81-93 . — ISSN 0024-6107 . - doi : 10.1112/jlms/s1-26.2.81 .
  41. ↑ Eggleston HG Măsurarea asimetriei curbelor convexe de lățime constantă și raze restricționate de curbură  //  Quarterly Journal of Mathematics. - Londra : Oxford University Press , 1952. - Vol. 3 , nr. 1 . - P. 63-72 . — ISSN 0033-5606 . - doi : 10.1093/qmath/3.1.63 .
  42. ↑ Grünbaum B. Măsuri de simetrie pentru seturi convexe  //  Proceedings of Symposias in Pure Mathematics. - Providence : Societatea Americană de Matematică , 1963. - Vol. 7 (Convexitate) . - P. 233-270 . - ISBN 0-8218-1407-9 . — ISSN 0082-0717 .
  43. ↑ Groemer H., Wallen LJ A Measure of Asymmetry for Domains of Constant Width  //  Beiträge zur Algebra und Geometry / Contributions to Algebra and Geometry. - Lemgo : Heldermann Verlag, 2001. - Vol. 42 , nr. 2 . - P. 517-521 . — ISSN 0138-4821 . Arhivat din original pe 21 septembrie 2015.
  44. ↑ Andreev N. N. Inventând roata . Studii matematice . Preluat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original la 23 mai 2012.
  45. ↑ 1 2 3 4 Andreev N. N. Forarea găurilor pătrate . Studii matematice . Preluat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original la 23 mai 2012.
  46. ↑ Beliltsev V. Plus geometrie! // Tehnica si stiinta. - M . : Profizdat, 1982. - Nr. 7 . - S. 14 . — ISSN 0321-3269 .
  47. ↑ 1 2 Klee V. , Wagon S. Probleme nerezolvate vechi și noi în geometria plană și teoria numerelor. - Washington DC : Mathematical Association of America , 1996. - P. 22. - 356 p. - (Dolciani Expoziţii matematice, Vol. 11). — ISBN 0-8838-5315-9 .  (Engleză)
  48. ↑ Wilson RG A066666: Expansiunea zecimală a zonei decupate de un triunghi Reuleaux rotativ  . OEIS . Preluat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original la 23 mai 2012.
  49. ↑ Citat din cartea Gardner M. Timp liber matematic / Per. din engleza. Yu. A. Danilova. Ed. A. Ya. Smorodinsky. - M .: Mir , 1972. - S. 292. - 496 p.
  50. ↑ 1 2 Yegupova M. Este posibil să faci o gaură pătrată?  // Știință și viață . - M . : ANO „Redacția revistei „Știință și viață””, 2010. - Nr. 5 . - S. 84-85 . — ISSN 0028-1263 .
  51. ↑ Watts HJ Brevet SUA 1.241.175 (Floating Tool-Chuck  ) . Consultat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original la 29 noiembrie 2015.
  52. ↑ Watts HJ Brevet SUA 1.241.176 (Drill or Boring Member  ) . Consultat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original pe 29 decembrie 2011.
  53. ↑ Smith. Forarea găurilor pătrate, 1993 .
  54. ↑ Darling DJ Reuleaux Triangle // Cartea universală a matematicii: de la Abracadabra la paradoxurile lui Zeno . - Hoboken : Wiley, 2004. - P.  272 ​​​​. — 400p. — ISBN 0-4712-7047-4 .  (Engleză)
  55. ↑ Morrell RJ, Gunn JA, Gore GD brevet SUA 4.074.778 (Square Hole Drill  ) . Consultat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original pe 28 decembrie 2011.
  56. ↑ 1 2 Motor Wankel // Dicționar politehnic / Colegiul editorial: A. Yu. Ishlinsky (editor șef) și alții. - Ed. a 3-a, revizuită. si suplimentare - M .: Enciclopedia Sovietică , 1989. - S. 72. - 656 p. — ISBN 5-8527-0003-7 .
  57. ↑ Yaglom, Boltyansky. Cifre convexe, 1951 , p. 93-94.
  58. ↑ Kulagin S.V. Mecanism Clamshell // Fotokinotehnică / Cap. ed. E. A. Iofis . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1981. - S. 71. - 447 p. — 100.000 de exemplare.
  59. ↑ White HS Geometria lui Leonhard Euler  //  Leonhard Euler: Viață, muncă și moștenire / Eds. RE Bradley, C. E. Sandifer. - Amsterdam : Elsevier , 2007. - P. 309 . — ISBN 0-4445-2728-1 .
  60. ↑ Model: L01 Positive Return Mechanism with Curved Triangle (Model Metadata  ) . Modele cinematice pentru biblioteca digitală de proiectare . Universitatea Cornell . Consultat la 18 noiembrie 2011. Arhivat din original la 23 mai 2012.
  61. ↑ Model: L02 Positive Return Cam (Model Metadata  ) . Modele cinematice pentru biblioteca digitală de proiectare . Universitatea Cornell . Consultat la 18 noiembrie 2011. Arhivat din original la 23 mai 2012.
  62. ↑ Model: L06 Positive Return Cam (Model Metadata  ) . Modele cinematice pentru biblioteca digitală de proiectare . Universitatea Cornell . Consultat la 18 noiembrie 2011. Arhivat din original la 23 mai 2012.
  63. ↑ 1 2 Model : L01 Mecanism de retur pozitiv cu triunghi curbat  . Modele cinematice pentru biblioteca digitală de proiectare . Universitatea Cornell . Preluat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original la 23 mai 2012.
  64. ↑ Model : L06 Positive Return Cam  . Modele cinematice pentru biblioteca digitală de proiectare . Universitatea Cornell . Preluat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original la 23 mai 2012.
  65. ↑ Gopey I. A. Lange & Söhne Lange 31  // Ceasul meu. - M . : Vezi literatura, 2010. - Nr. 1 . - S. 39 . — ISSN 1681-5998 . Arhivat din original pe 13 februarie 2011.
  66. ↑ 12 Gardner . Spânzurarea neașteptată și alte diversiuni matematice, 1991 , p. 212.
  67. ↑ 1 2 3 4 Butuzov V. F. și colab. Cercul // Planimetrie. Manual pentru studiul aprofundat al matematicii . — M .: Fizmatlit , 2005. — S. 265. — 488 p. — ISBN 5-9221-0635-X . Arhivat pe 18 septembrie 2012 la Wayback Machine
  68. ↑ Kogan B. Yu. Role uimitoare  // Kvant . - M . : Nauka , 1971. - Nr 3 . - S. 21-24 . — ISSN 0130-2221 . Arhivat din original pe 28 martie 2012.
  69. ↑ Peterson. Călătorii matematice, 2002 , p. 143.
  70. ↑ Istoricul Logo Fina: de la Petrofina la Fina . total.com. Arhivat din original pe 26 decembrie 2012.
  71. ↑ Bavaria . Data accesului: 7 mai 2019.
  72. ↑ Roland B. Fischer. M-Blems: Explicarea siglei (PDF) 29. Mine: Revista din Colorado School of Mines. Volumul 92 Numărul 2 (primăvara 2002). Preluat la 7 mai 2019. Arhivat din original la 10 iulie 2010.
  73. ↑ Aprobare provizorie pentru utilizarea opțională a unui design alternativ pentru semnul pentru traseul de biciclete din SUA (M1-9) (IA-15) - Aprobari provizorii emise de FHWA - FHWA MUTCD . mutcd.fhwa.dot.gov. Preluat la 7 mai 2019. Arhivat din original pe 5 martie 2020.
  74. ↑ Alexey Goncharov. Zburați, e mai ieftin: Samsung S3650 Corby (link indisponibil) . Nomobile (28 septembrie 2009). Preluat la 7 mai 2019. Arhivat din original la 14 februarie 2019. 
  75. ↑ Pavel Urusov. Recenzie telefon mobil Samsung S3650 Corby . GaGadget (18 ianuarie 2010). Preluat la 2 martie 2019. Arhivat din original la 14 februarie 2019.
  76. ↑ 1 2 Brinkworth P., Scott P. Fancy Gothic of Hauterive  . Locul Matematicii . Preluat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original la 5 aprilie 2013.
  77. ↑ 1 2 Scott P. Reuleaux Triunghi Fereastra  . Galeria Foto Matematică . Preluat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original la 1 mai 2013.
  78. ↑ KölnTriangle: Architecture  (engleză)  (link nu este disponibil) . Site-ul oficial al KölnTriangle . Consultat la 11 octombrie 2011. Arhivat din original pe 22 iunie 2013.
  79. ↑ Anderson P. The Three-Cornered Wheel  // Analog Science Fact - Science Fiction  . — New York : Condé Nast Publications, 1963/10. — Vol. LXXII , nr. 2 . - P. 50-69 .
  80. ↑ 12 Gardner . Spânzurarea neașteptată și alte diversiuni matematice, 1991 , p. 215-216.
  81. ↑ 1 2 Bezdek M. Despre o generalizare a teoremei Blaschke-Lebesgue pentru poligoane-disc  //  Contribuții la matematica discretă. - 2011. - Vol. 6 , nr. 1 . - P. 77-85 . — ISSN 1715-0868 .  (link indisponibil)
  82. ↑ 12 Eggleston . Convexitate, 1958 , p. 128.
  83. ↑ Yaglom, Boltyansky. Cifre convexe, 1951 , p. 98-102.
  84. ↑ 1 2 Firey WJ Ratele izoperimetrice ale poligoanelor Reuleaux  // Pacific Journal of  Mathematics . - Berkeley : Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1960. - Vol. 10 , nr. 3 . - P. 823-829 . — ISSN 0030-8730 . Arhivat din original pe 13 august 2016.
  85. ↑ Sallee GT Maximal Areas of Reuleaux Polygons   // Canadian Mathematical Bulletin. - Ottawa : Societatea Canadiană de Matematică, 1970. - Vol. 13 , nr. 2 . - P. 175-179 . — ISSN 0008-4395 . - doi : 10.4153/CMB-1970-037-1 .  (link indisponibil)
  86. ↑ Marea Britanie 20p Coin  (ing.)  (link indisponibil) . Site-ul oficial al Monetăriei Regale a Marii Britanii . Consultat la 6 noiembrie 2011. Arhivat din original pe 12 februarie 2012.
  87. ↑ Marea Britanie 50p  Moneda . Site-ul oficial al Monetăriei Regale a Marii Britanii . Consultat la 6 noiembrie 2011. Arhivat din original la 23 mai 2012.
  88. ↑ Roți cu colțuri: reinventarea roții . Site-ul popular Mechanics ( 29 mai 2009). Consultat la 6 noiembrie 2011. Arhivat din original la 18 octombrie 2010.
  89. ↑ 1 2 Tetraedrul Weisstein E.W. Reuleaux . Wolfram mathworld . Consultat la 6 noiembrie 2011. Arhivat din original la 3 septembrie 2011. 
  90. ↑ 1 2 3 Kawohl B., Weber C. Meissner's Mysterious Bodies  //  Mathematical Intelligencer. - New York : Springer , 2011. - Vol. 33 , nr. 3 . - P. 94-101 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/s00283-011-9239-y . Arhivat din original pe 13 iulie 2012.
  91. ↑ 12 Gardner . Spânzurarea neașteptată și alte diversiuni matematice, 1991 , p. 218.
  92. ↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1934. - S. 127-139. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1).  (Limba germana)
  93. ↑ Kawohl B. Seturi convexe de lățime constantă  //  Rapoarte Oberwolfach. - Zurich : Editura Societății Europene de Matematică, 2009. - Vol. 6 , nr. 1 . - P. 390-393 . Arhivat din original pe 2 iunie 2013.
  94. ↑ Anciaux H., Guilfoyle B. On the Three-Dimensional Blaschke-Lebesgue Problem  //  Proceedings of the American Mathematical Society. - Providence : Societatea Americană de Matematică , 2011. - Vol. 139 , nr. 5 . - P. 1831-1839 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 . arXiv : 0906.3217
  95. ↑ Campi S., Colesanti A., Gronchi P. Minimum Problems for Volumes of Convex Bodies  //  Partial Differential Equations and Applications / Eds. P. Marcellini, G. Talenti, E. Visintin. - New York : Marcel Dekker, 1996. - P. 43-55 . - ISBN 0-8247-9698-5 .
  96. ↑ Anciaux H., Georgiou N. The Blaschke-Lebesgue Problem for Constant Width Bodies of  Revolution . arXiv : 0903.4284

Literatură

În rusă

În engleză

  • Eggleston HG Seturi de lățime constantă // Convexitate. - Londra : Cambridge University Press, 1958. - P. 122-131. — 136p. - (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47). - ISBN 0-5210-7734-6 .
  • Gardner M. Curves of Constant Width // The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago ; Londra : University of Chicago Press, 1991. - P. 212-221. — 264 p. - ISBN 978-0-2262-8256-5 .
  • Gleißner W., Zeitler H. Triunghiul Reuleaux și centrul său de masă  // Rezultate în matematică. - 2000. - Vol. 37, nr. 3-4 . - P. 335-344. — ISSN 1422-6383 . Arhivat din original pe 4 decembrie 2007.
  • Moon FC Curves of Constant Breadth // Mașinile lui Leonardo Da Vinci și Franz Reuleaux: Cinematica mașinilor de la Renaștere până în secolul XX. - Dordrecht : Springer , 2007. - P. 239-241. — 451 p. - (Istoria Mecanismului și Științei Mașinilor, Vol. 2). - ISBN 978-1-4020-5598-0 .
  • Peterson I. Rolling with Reuleaux // Călătorii matematice: de la numere suprareale la cercuri magice. - Washington DC : Asociația Matematică din America , 2002. - P. 141-144. — 180p. - (Seria Spectrul). - ISBN 0-8838-5537-2 .
  • Reuleaux F. Perechi de elemente // The Kinematics of Machinery. Schițe ale unei teorii a mașinilor / Tr. şi ed. de Alexander BW Kennedy . - Londra : Macmillan and Co, 1876. - P. 86-168. — 622 p.
  • Smith S. Drilling Square Holes  // Profesor de matematică. - Reston : Consiliul Naţional al Profesorilor de Matematică, 1993. - Vol. 86, nr. 7 . - P. 579-583. — ISSN 0025-5769 . Arhivat din original pe 4 aprilie 2005.

Link -uri