Tensorul de deformare

Tensorul de deformare este un tensor care caracterizează compresia (întinderea) și schimbarea formei în fiecare punct al corpului în timpul deformării .

Tensorul de deformare Cauchy-Green într-un continuum clasic (ale cărui particule sunt puncte materiale și au doar trei grade de libertate de translație) este definit ca

\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } + \sum\limits_l \frac{ \partial u_l} {\partial x_i }\frac{\partial u_l} {\partial x_j } \right)

unde este un vector care descrie deplasarea unui punct al corpului: coordonatele acestuia sunt diferența dintre coordonatele punctelor apropiate după ( ) și înainte de ( ) deformare. Diferențierea se realizează prin coordonate în configurația de referință (înainte de deformare). Distanțele înainte și după deformare sunt legate prin : $\mathbf{u}$ $dx^\prime_i$ $dx_i$ $\varepsilon_{ij}$

dl^{\prime 2} = dl^{2} +2 \varepsilon_{ij}\, dx_i \, dx_j

(sumarea se realizează pe indici repeți).

Prin definiție, tensorul deformarii este simetric, adică . $\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}$

În unele surse, acest tensor de deformare este numit tensor de deformare Green-Lagrange, iar măsura de deformare Cauchy-Green corectă (tensorul de deformare dublat în cauză plus tensorul de unitate) se numește tensorul de deformare Cauchy-Green corect.

Tensorul de deformare neliniar Cauchy-Green are proprietatea obiectivității materiale. Aceasta înseamnă că, dacă o bucată dintr-un corp deformabil face o mișcare rigidă, tensorul deformarii se rotește împreună cu volumul elementar al materialului. Este convenabil să folosiți astfel de tensori atunci când scrieți ecuațiile constitutive ale materialului, atunci principiul obiectivității materialului este îndeplinit automat, adică dacă observatorul se mișcă în raport cu mediul deformabil, comportamentul materialului nu se modifică (stresul). tensorul se rotește în cadrul de referință al observatorului împreună cu volumul elementar al materialului).

Există și alți tensori obiectivi de deformare, de exemplu, tensorul de deformare Almansi, tensorii de deformare Piol, Finger etc. Unii dintre aceștia includ derivatele deplasărilor de-a lungul coordonatelor din configurația de referință (înainte de deformare), iar unele dintre ele includ derivatele coordonatelor din configurația curentă (după deformare).

Faptul că într-un mediu continuu clasic energia de deformare depinde doar de tensorul de deformare simetric rezultă din legea echilibrului momentului. Orice funcție unu-la-unu a unui tensor de deformare obiectiv va fi, de asemenea, un tensor de deformare obiectiv. De exemplu (datorită simetriei și definiției pozitive a tensorului de deformare) se poate folosi rădăcina pătrată a tensorului de deformare Cauchy-Green. Cu toate acestea, atunci când se stabilesc ecuațiile constitutive folosind acești tensori, este important să se urmeze ipotezele despre natura dependenței energiei libere (sau tensiunilor) de tensorii deformarii. Este clar că ipotezele despre, să zicem, diferențiabilitatea energiei libere în raport cu tensorul de deformare Cauchy-Green, în raport cu rădăcina acestuia, sau prin pătratul său, vor duce la ecuații ale materialelor complet diferite. O teorie de formă generală, liniară în , se obține pentru valori mici doar în primul caz. $\mathbf{u}$ $\mathbf{u}$

Pentru cei mici , putem neglija termenii patratici și folosim tensorul deformare sub forma: $\mathbf{u}$

\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } \right)

Tensorul liniar de deformare Cauchy-Green (coincide cu tensorul liniar de deformare Almansi până la semn) nu are proprietatea de obiectivitate materială la rotații mari, deci nu este utilizat în ecuațiile de guvernare pentru deformații mari. În aproximarea rotațiilor mici, această proprietate este păstrată.

Elementele diagonale descriu deformații liniare de tracțiune sau compresiune, elementele în afara diagonalei descriu deformarea prin forfecare. $\varepsilon_{ij}$

În coordonate sferice

\varepsilon_{rr} = \frac{\partial u_r}{\partial r}

\varepsilon_{\theta\theta} = \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{u_r}{r}

\varepsilon_{\varphi\varphi} = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{u_\theta}{r} \text{ ctg } \theta + \frac{u_r}{r}

2\varepsilon_{\theta\phi} = \frac{1}{r} \left( \frac{\partial u_\varphi}{\partial \theta} - u_\varphi \text{ctg } \theta \right) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_\theta}{\partial \varphi}

2 \varepsilon_{r\theta} = \frac{\partial u_\theta}{\partial r} - \frac{u_\theta}{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u_r} {\partial \theta }

2 \varepsilon_{\varphi r} = \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_r}{\partial \varphi } + \frac{\partial u_\varphi}{\partial r} - \frac{u_\varphi}{r}

Într-un sistem de coordonate cilindric

\varepsilon_{rr} = \frac{\partial u_r}{\partial r}

\varepsilon_{\varphi\varphi} = \frac{1}{r}\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{u_r}{r}

\varepsilon_{zz} = \frac{\partial u_z}{\partial z}

2 \varepsilon_{\varphi z} = \frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial \varphi} + \frac{\partial u_\varphi}{\partial z}

2 \varepsilon_{rz} = \frac{\partial u_r}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial r}

2 \varepsilon_{r \varphi} = \frac{\partial u_\varphi}{\partial r} -\frac{ u_\varphi}{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u_r} {\partial \varphi}

Vezi și

Literatură

Lur'e A. I. Teoria elasticităţii. M.: Nauka, 1970. - 940 p.
Lur'e AI Teoria neliniară a elasticității. — M.: Nauka, 1980. — 512 p.
Dimitrienko Yu. I. Mecanica continuului neliniar. Moscova: Fizmatlit, 2010, 624 p.