Tensor de stres

Tensorul de tensiuni (uneori tensorul de tensiuni Cauchy , tensorul de tensiune ) este un tensor de rangul doi care descrie tensiunile mecanice într-un punct arbitrar al unui corp încărcat care apar în acest punct cu deformațiile sale mici (corpului). În cazul unui corp volumetric, tensorul este adesea scris ca o matrice 3×3:

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrice}}\right]=\left[{\begin {matrice}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _ {31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{ xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _ {zz}\\\end{matrice}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _ {yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrice}}\right]

iar în cazul unui corp bidimensional (vezi exemplul de mai jos) cu o matrice 2×2:

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\end{matrice}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _ {21}&\sigma _{22}\\\end{matrice}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}\\\sigma _ {yx}&\sigma _{yy}\\\end{matrice}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _ {yx}&\sigma _{y}\\\end{matrice}}\right]

unde este vectorul de efort mecanic care actioneaza pe suprafata . $\mathbf {T} ^{(e_{n)}))$ $e_{n}$

În cazul unei notații matriceale (în sistemul de coordonate carteziene ), mărimile (componentele tensorului tensiunii) descriu tensiunile experimentate de corp la un punct dat. În acest moment se desenează plane speculative cu normale , , .... Pe diagonala principală , , ... se scriu componentele normale ale forțelor care acționează asupra acestor plane , iar în pozițiile rămase sunt componente tangenţiale , , . .. a vectorilor de stres pe aceste planuri. $\sigma_{ij}$ $\color {Roșu}e_{1}$ $\color {Roșu}e_{2}$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ $\tau _{yx}$ $\tau_{xy}$

În cazul deformațiilor mari (deformații finite), trebuie să folosiți abordări precum tensorul de efort Piola-Kirchhoff , tensorul Biot sau tensorul de efort Kirchhoff .

Semnificația fizică a tensorului tensiunii ca exemplu în cazul bidimensional

Cea mai simplă ilustrare care face posibilă înțelegerea semnificației fizice a tensorului tensiunii este probabil să nu luăm în considerare cazul stresului într-un corp volumetric, ci, dimpotrivă, să luăm în considerare stresul într-un corp bidimensional plat. Pentru a face acest lucru, luați în considerare solicitarea unei bucăți de țesătură sub o sarcină externă (vezi Fig. A ).

Figura prezintă o bucată dreptunghiulară de material sub sarcină externă, care este reprezentată de săgeți negre de-a lungul perimetrului dreptunghiului. În acest caz, sarcina poate fi întinderea acesteia cu mâinile în direcții diferite sau întinderea materialului pe o formă complexă.

Este intuitiv clar că, datorită formei, orientării moleculelor, straturilor atomice și țesuturii diferite a fibrelor (în Fig. A , locația fibrelor este prezentată schematic cu o grilă gri fină) în diferite puncte ale țesăturii , stresul va fi diferit: undeva vor exista zone care sunt supuse întinderii verticale , iar în alte zone, fibrele vor experimenta efort de forfecare .

Fiecare punct de pe suprafața unei bucăți de țesătură are propria sa valoare unică de stres. Aceasta înseamnă că fiecare punct al țesăturii corespunde propriului său obiect matematic - un tensor de al doilea rang. $\mathbf {T}$ $(x_{0},y_{0})$ $\mathbf {T}$

Pentru a înțelege modul în care tensorul arată starea de tensiune în orice punct al țesăturii, puteți face o tăietură mică în acel punct și puteți observa în ce direcție vor diverge aceste tăieturi. Deci, în fig. Și am făcut două tăieturi în puncte diferite ale țesăturii: direcția unei tăieturi este indicată de linia punctată roșie, direcția celeilalte este indicată de linia punctată albastră. Pentru a descrie matematic direcția acestor tăieturi, se folosește un vector normal (un vector perpendicular pe planul tăieturii). Deci, pentru o tăietură , vectorul normal este roșu și direcționat perpendicular pe planul tăieturii; pentru o tăietură, situația este similară. Direcția de creștere a lacrimii în țesut este indicată de vectori violet . $\mathbf {T}$ $\color {roșu} c$ $\color {albastru}c$ $\color {roșu} c$ $\color {roșu}{\vec {c}}$ $\color {albastru}c$ $\color {RedViolet}{\vec {t)}$

Pentru a prezice unde se va dezvolta tăietura, este folosit doar tensorul tensiunii. Din punct de vedere matematic, această predicție ar arăta astfel:

Definiți o „funcție tensorală” ale cărei argumente sunt coordonatele punctelor din interiorul corpului și a cărei valoare este un tensor care descrie starea de stres într-un punct dat al corpului. $f(x,y)=\mathbf {T_{x,y)} ,$
Selectați un punct din corp, de exemplu, și obțineți din acesta un tensor care descrie starea de stres în acel punct $(x_{0},y_{0}),$ $f(x,y)$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} .$
Determinați direcția planului în care va fi tăiat corpul. $\color {roșu}{\vec {c}}$
Înmulțiți direcția tăieturii într-un punct cu tensorul tensiunii într-un punct dat , care în notație matematică arată ca $\color {roșu}{\vec {c}}$ $(x_{0},y_{0})$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}}$ ${\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} \color {red}{\vec {c}}}=\color {RedViolet}{\vec {t}}.$
Vectorul și va arăta unde se va extinde tăietura în punctul . $\color {RedViolet}{\vec {t)}$ $\color {roșu}{\vec {c}}$ $(x_{0},y_{0})$

Tăieturile și sunt vectori, iar tensiunea într-un punct este un tensor. $\color {roșu}{\vec {c}}$ $\color {albastru}{\vec {c}}$ $\mathbf {T}$

Trebuie înțeles că inciziile multidirecționale făcute în același punct de pe corp vor avea ca rezultat un răspuns diferit al țesutului. Acest fenomen este prezentat în fig. B , unde creșterea rupturii tisulare are loc în direcții diferite și cu intensitate diferită , ca răspuns la direcții diferite ale inciziilor inițiale și efectuate în același punct. $\color {RedViolet}{\vec {t)}$ $||{\color {RedViolet}{\vec {t))}||$ $\color {roșu}{\vec {c}}$ ${\vec {c}}$

Tocmai pentru a descrie un astfel de comportament complex, sunt utilizați tensori, care în acest caz servesc ca funcții vectoriale definite în fiecare punct al unei bucăți de țesut, care pun toate direcțiile posibile de tăiere în conformitate cu toate direcțiile posibile de ruptură ulterioară a țesutului. $f_{x_{0},y_{0}}({\vec {c}})=\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} {\vec {c}}={ \vec{t}}$ $(x_{0},y_{0})$ ${\vec {c}}$ ${\vec {t}}$

Derivarea componentelor tensorale

Componentele tensorilor de tensiuni din sistemul de coordonate carteziene (adică ) sunt introduse după cum urmează. Un volum infinitezimal al unui corp (mediu continuu) este considerat sub forma unui paralelipiped dreptunghiular, ale cărui fețe sunt ortogonale pe axele de coordonate și au zone . Forțele de suprafață acționează pe fiecare față a paralelipipedului . Dacă desemnăm proiecțiile acestor forțe pe axă ca , atunci componentele tensorului tensiunii sunt raportul dintre proiecțiile forței și aria feței pe care acționează această forță: $\sigma_{ij}$ $Ox_i$ $Oxyz$ $dS_{i}$ $dS_{i}$ $dF_{i}$ $bou_{j}$ $dF_{ij}$

\sigma_{ij} = \frac{ d F_{ij}}{dS_{i}}

Aici nu există o însumare după index . Componentele , , , notate și ca , , sunt tensiuni normale , ele reprezintă raportul dintre proiecția forței pe normală și aria feței luate în considerare : $i$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ $\sigma_{33}$ $\sigma_{xx}$ $\sigma_{aa}$ $\sigma_{zz}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{11} = \frac{ d F_{11}}{dS_{1}}

etc.

Componentele , , , notate și ca , , sunt tensiuni tangențiale , ele reprezintă raportul dintre proiecția forței pe direcțiile tangențiale și aria feței luate în considerare : $\sigma_{12}$ $\sigma_{23}$ $\sigma_{31}$ $\tau_{xy}$ $\tau_{yz}$ $\tau_{zx}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{12} = \frac{ d F_{12}}{dS_{1}}

etc.

În absența unui moment unghiular intrinsec al unui mediu continuu, precum și a perechilor volumetrice și de suprafață, tensorul tensiunii este simetric (așa-numita lege a împerecherii tensiunilor de forfecare), care este o consecință a ecuației de echilibru a momentului unghiular . În special, tensorul tensiunii este simetric în teoria clasică a elasticității și în hidrodinamica fluidelor ideale și liniar vâscoase .

Tensorul de stres în fizica relativistă

În ceea ce privește teoria relativității , componentele tensorului tensiunii sunt cele nouă componente spațiale ale tensorului energie-impuls .

Tensorul de stres în electrodinamica clasică

În electrodinamica clasică , tensorul de stres al câmpului electromagnetic ( tensorul de stres Maxwellian [1] , tensorul de stres Maxwell [2] ) în Sistemul Internațional de Unități (SI) are forma:

T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}W,

unde este densitatea de energie a câmpului electromagnetic. $W$

Vezi și

Note

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. - M .: Nauka , 1988. - S. 115. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stepanovsky Yu. P. Maxwell tensor de stres // Physical Encyclopedia : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplasmic - Teorema lui Poynting. - S. 32-33. — 672 p. - 48.000 de exemplare. — ISBN 5-85270-019-3 .

Literatură

Sedov L.I. Mecanica continuului. Volumul 1. M.: Nauka, 1970. 492 p.
Truesdell K. Curs inițial de mecanică rațională a continuumului. M.: Nauka, 1975. 592 p.
Dimitrienko Yu. I. Mecanica continuului neliniar. Moscova: Fizmatlit, 2010.