Teorema seriei de puteri Hadamard

Teorema seriei de puteri Hadamard (de asemenea teorema Cauchy-Hadamard ) este o afirmație care oferă o estimare pentru raza de convergență a seriei de puteri pentru unele cazuri. Numit după matematicienii francezi Cauchy și Hadamard . Teorema a fost publicată de Cauchy în 1821 [1] dar a rămas neobservată până când Hadamard a redescoperit-o [2] . Hadamard a publicat rezultatul în 1888 [3] . L-a inclus și în teza sa de doctorat în 1892 [4] .

Formulare

Fie o serie de puteri cu raza de convergență . Apoi: $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ $R$

$(\alfa)$ dacă limita superioară există și este pozitivă, atunci ; $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $R={\frac {1}{\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|)))}$

$(\beta )$ dacă , atunci ; $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$ $R=+\infty$

$(\gamma )$ dacă nu există o limită superioară , atunci . $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $R=0$

Dovada

$(\alfa)$ Lasă . $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\in (0;+\infty )$

Dacă punctul este astfel încât , atunci este posibil să găsiți un număr astfel încât să fie valabil pentru aproape toți . Din această inegalitate rezultă că progresia geometrică este o majoranta convergentă a seriei , adică . $z \in \mathbb C$ $|z-z_{0}|<{\frac {1}{\lambda ))$ $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|} <1$ $q<1$ $\nu$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<q\,$ ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }q^{\nu ))$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|$ $R={\frac {1}{\lambda ))$

Dacă, dimpotrivă, punctul îndeplinește condiția , atunci pentru o mulțime infinită de numere , . Prin urmare, seria într-un punct diverge deoarece termenii săi nu tind spre zero. $z \in \mathbb C$ $|z-z_{0}|>{\frac {1}{\lambda ))$ $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }({\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\cdot |z-z_{0}|)>1$ $\nu$ $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|\geqslant 1$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }|$ $z$

$(\beta )$ Lasă . Apoi pentru fiecare șirul converge către zero. Prin urmare, dacă alegem un număr , atunci inegalitatea va fi valabilă pentru aproape toate numerele , din care, ca în , rezultă că seria converge în punctul . Formal . $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$ $z \in \mathbb C$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ $q=q(z)\in (0;1)$ $\nu$ $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|<q^{\nu }$ $(\alfa)$ $z$ $R={\frac {1}{+0}}=+\infty$

$(\gamma )$ Nu există nicio limită superioară în (adică formal ) dacă și numai dacă secvența este nemărginită de sus. Dacă , atunci șirul este de asemenea nemărginit . Prin urmare, seria diverge în punctul . Trebuie remarcat faptul că pentru , seria converge către . În cele din urmă (adică formal , de fapt ). $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $\mathbb {R}$ $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=+\infty \in {\overline {\ mathbb {R} }}$ ${\sqrt[ {\nu }]{|a_{{\nu }}|}}$ $z\neq z_{0)$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ $z\neq z_{0)$ $z=z_{0)$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ $a_{0}$ $R=0$ $R={\frac {1}{+\infty }}=+0$ $R=\varliminf \limits _{\nu \to +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}=0$

Note

↑ Cauchy, A.L. (1821), Analyse algébrique .
↑ Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass , Springer-Verlag, p. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0 . Tradus în engleză din italiană de Warren Van Egmond.
↑ Hadamard, J. , Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable, CR Acad. sci. Paris T. 106: 259–262 .
↑ Hadamard, J. (1892), Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 4 e Série T. VIII , < https://archive.org/details/essaisurltuded00hadauoft > . De asemenea, în Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques , Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.

Literatură

Grauert G., Lieb I., Fisher W. Calcul diferențial și integral, M., Mir, 1971