Teorema lui Alaoglu

Teorema lui Alaoglu  este o teoremă de analiză funcțională, unul dintre cele mai importante rezultate ale topologiei slabe .

Își găsește aplicație în fizică, atunci când descrie setul de stări ale algebrei observabilelor, și anume că orice stare poate fi scrisă ca o combinație liniară convexă de așa-numitele stări pure.

De obicei, în demonstrație, identifică bilă unitară cu topologia slabă* cu un subset închis al produsului de mulțimi compacte cu topologia produsului . Ca o consecință a teoremei lui Tihonov , acest produs și, prin urmare, bilă unitară din interiorul său, sunt compacte.

Formulare

Bila unitară închisă a spațiului dual al unui spațiu vectorial normat este compactă în topologia slabă* .

Istorie

Potrivit lui Pitch, există cel puțin 12 matematicieni care pot susține această teoremă sau predecesorul ei important [1]

• În 1912, Edward Helly a demonstrat că bilă unitară a unui spațiu dual continuu este numărabil compactă în topologia slabă* [2] .
• În 1932, Ștefan Banach a demonstrat că bila unitară închisă în spațiul dual continuu al oricărui spațiu normat separabil este secvenţial slab* compact [2] .
• O dovadă pentru cazul general a fost publicată în 1940 de Leonidas Alaoglu .

Note

1. ↑ Narici, Beckenstein, 2011 , pp. 235-240.
2. ↑ 1 2 Narici, Beckenstein, 2011 , pp. 225-273.

Literatură

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Spații vectoriale topologice. Matematică pură și aplicată (ed. a doua)  (engleză) . - Boca Raton: CRC Press, 2011. - ISBN 978-1584888666 .