Convergență slabă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 iulie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Convergența slabă în analiza funcțională este un fel de convergență în spațiile vectoriale topologice .

Definiție

Fie un câmp topologic , un spațiu vectorial topologic peste câmp , și să fie spațiul dual al , constând din toate funcționale liniare continue pe . Atunci topologia slabă a unui spațiu este cea mai slabă dintre topologiile în care toate funcționalele liniare care sunt continue în topologia originală a acestui spațiu sunt continue. $K$ $X$ $K$ $X^{*}$ $X$ $X$

Prebaza topologiei slabe este formată din mulțimi

V_{x,f,\varepsilon}=\{\,y\in X:|f(y)-f(x)|<\varepsilon \,\)

pentru toți , , și . $x\în X$ $f\in X^{*}$ $\varepsilon >0$

Cu alte cuvinte, o secvență de elemente converge slab către un element dacă, pentru orice funcțională liniară continuă , șirul de numere converge către . $x_{n}\in X$ $x_{\infty }\in X$ $f\in X^{*}$ $\{f(x_{n})\}$ $f(x_{\infty })$

Topologia slab* in este topologia a carei prebaza este formata din multimi $X^{*}$

V_{f,x,\varepsilon }^{*}=\{\,g\in X^{*}:|g(x)-f(x)|<\varepsilon \,\)

pentru toți , , și . $x\în X$ $f\in X^{*}$ $\varepsilon >0$

Cu alte cuvinte, o secvență de funcții converge slab* către o funcție dacă pentru oricare , șirul de numere converge către . $f_{n}\in X^{*}$ $f_{\infty }\in X^{*}$ $x\în X$ $f_{n}(x)$ $f_{\infty }(x)$

Note

Convergența în spațiu , definită de topologia sa originală, se spune că este puternică . $X$

Proprietăți

Dacă o secvență converge puternic către un element, atunci converge slab către acest element.
Într-un spațiu euclidian cu dimensiuni finite , conceptele de convergență puternică și slabă coincid.
În cazul în care este un spațiu vectorial normat , sunt valabile următoarele afirmații. O secvență slab convergentă de elemente este mărginită, adică pentru un număr pozitiv . O secvență de elemente converge slab către un element dacă este mărginit și converge către pentru fiecare funcțională liniară continuă dintr-un subset al spațiului a cărui întindere liniară este peste tot densă în . $X$ $\{x_{n}\}\subset X$ $\|x_{n}\|\leq C$ $C$ $\{x_{n}\}\subset X$ $x_{0}\în X$ $\{f(x_{n})\}$ $f(x_{0})$ $X^{*}$ $X^{*}$
Teorema Banach-Alaoglu-Bourbaki . Bila de spațiu închisăeste compactă în topologia spațiului slab*. $X^{*}$ $X^{*}$
Teorema Eberlein-Shmulian. Un subset al unui spațiu Banach este slab compact dacă și numai dacă este slab secvenţial compact. $A$ $X$

Exemplu

Fie spațiul funcțiilor continue pe un interval cu o normă definită de convergență uniformă (convergență puternică). O secvență de funcții converge slab către o funcție dacă și numai dacă sunt îndeplinite două condiții: 1) este mărginită uniform, adică pentru toate pentru un număr pozitiv și 2) converge spre punctual, adică șirul numeric converge către pentru orice . $X=C[a,b]$ $[a,b]$ $\{x_{n}(\cdot )\}$ $x_{0}(\cdot )$ $|x_{n}(t)|\leq C$ $t\in [a,b]$ $C$ $\{x_{n}(\cdot )\}$ $x_{0}(\cdot )$ $\{x_{n}(t)\}$ $x_{0}(t)$ $t\in [a,b]$

Literatură

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, - M.: Nauka, 1965.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, - Orice ediție.
Rudin U. Analiza funcțională, - M .: Mir, 1975.