Formula Gauss-Bonnet raportează caracteristica Euler a unei suprafețe cu curbura sa gaussică și cu curbura geodezică a limitei sale.
Fie o varietate riemanniană compactă bidimensională orientată cu graniță netedă . Se notează prin curbura gaussică și prin curbura geodezică . Apoi
unde este caracteristica lui Euler .
În special, dacă nu există graniță, obținem
Dacă suprafața este deformată, atunci caracteristica lui Euler nu se schimbă, în timp ce curbura gaussiană se poate schimba punct cu punct. Cu toate acestea, conform formulei Gauss-Bonnet, integrala de curbură Gauss rămâne aceeași.
Un caz special al acestei formule pentru triunghiuri geodezice a fost obținut de Friedrich Gauss [1] , Pierre Ossian Bonnet [2] și Jacques Binet au generalizat independent formula la cazul unui disc mărginit de o curbă arbitrară; Binet nu a publicat un articol pe acest subiect, dar Bonnet îl menționează la pagina 129 din „Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces” al său. Pentru domeniile care nu sunt pur și simplu conectate, formula apare în lucrarea lui Walter von Dyck [3] . Formularea modernă este dată de Wilhelm Blaschke [4] .