Formula Gauss-Bonnet

Formula Gauss-Bonnet raportează caracteristica Euler a unei suprafețe cu curbura sa gaussică și cu curbura geodezică a limitei sale.

Formulare

Fie o varietate riemanniană compactă bidimensională orientată cu graniță netedă . Se notează prin curbura gaussică și prin curbura geodezică . Apoi $\Omega$ $\partial \Omega$ $K$ $\Omega$ $kg}$ $\partial \Omega$

\int \limits _{\Omega}K\,d\sigma +\int \limits _{\partial \Omega}k_{g}\,ds=2\pi \chi (\Omega),

unde este caracteristica lui Euler . $\chi (\Omega)$ $\Omega$

În special, dacă nu există graniță, obținem $\Omega$

\int \limits _{\Omega}K\,d\sigma =2\pi \chi (\Omega).

Dacă suprafața este deformată, atunci caracteristica lui Euler nu se schimbă, în timp ce curbura gaussiană se poate schimba punct cu punct. Cu toate acestea, conform formulei Gauss-Bonnet, integrala de curbură Gauss rămâne aceeași.

Istorie

Un caz special al acestei formule pentru triunghiuri geodezice a fost obținut de Friedrich Gauss [1] , Pierre Ossian Bonnet [2] și Jacques Binet au generalizat independent formula la cazul unui disc mărginit de o curbă arbitrară; Binet nu a publicat un articol pe acest subiect, dar Bonnet îl menționează la pagina 129 din „Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces” al său. Pentru domeniile care nu sunt pur și simplu conectate, formula apare în lucrarea lui Walter von Dyck [3] . Formularea modernă este dată de Wilhelm Blaschke [4] .

Variații și generalizări

Formula Gauss-Bonnet se generalizează în mod natural la domenii cu o limită netedă pe bucăți. Dacă la punctul de rupere vectorul tangent se rotește la un unghi spre regiune (poate fi un număr pozitiv sau negativ ), atunci formula se generalizează astfel: $P_{i}$ ${\boldsymbol {\tau ))$ $\phi_i$ $\Omega$ $\int \limits _{\Omega}K\,d\sigma +\int \limits _{L}k_{g}\,ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi \chi (\Omega).$
Formula generalizată Gauss-Bonnet este o generalizare a formulei la dimensiuni mai mari .
Inegalitatea Cohn-Vossen este o generalizare la suprafețe necompacte.
Teorema de comparație a lui Toponogov rafinează următoarea consecință a formulei Gauss-Bonnet: orice triunghi de pe o suprafață completă de curbură gaussiană nenegativă are o sumă a unghiurilor de cel puțin $\pi$ .

Vezi și

Formula Gauss

Link -uri

↑ C.F. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volumul VI, pp. 99–146.
↑ Bonnet, 1848 'Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces', J. École Polytechnique 19 (1848) pp. 1-146
↑ von Dyck W. Beiträge zur analysis situs. Math Ann, 32: 457–512 (1888)
↑ Wilhelm Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, 1921

S. E. Stepanov, Teorema Gauss-Bonnet, SOZH, 2000, No 9, p. 116-121.
Wu, Hung-hsi. „Dezvoltarea istorică a teoremei Gauss-Bonnet”. Science in China Series A: Mathematics 51.4 (2008): 777-784.