Curbura geodezică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 februarie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Curbura geodezică a unei curbe în geometria riemanniană măsoară cât de mult se abate o curbă de la o geodezică . De exemplu, pentru o curbă 1D pe o suprafață 2D imbricată în spațiul 3D , este curbura curbei proiectată pe un plan tangent la suprafață. Mai general, într-o varietate dată, curbura geodezică este curbura obișnuită a unei curbe (vezi mai jos). Cu toate acestea, dacă curba se află într-o subvarietă a varietății (de exemplu, pentru curbura suprafeței ), curbura geodezică se referă la curbura în , și diferă în formă generală de curbura în varietatea ambientală . Curbura (ambientală) a unei curbe depinde de doi factori: curbura subvarietății în direcția ( curbura normală ), care depinde numai de direcția curbei, și curbura în varietate (curbura geodezică ), care este o cantitate de ordinul doi. Legătura dintre ele este . În special, geodezicele au curbură geodezică zero („linii drepte”), astfel încât . $kg}$ $\gamma$ ${\bar {M)}$ $\gamma$ $\gamma$ $M$ ${\bar {M)}$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ ${\bar {M)}$ $k$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ $k_n$ $\gamma$ $M$ $kg}$ $k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2)))$ $M$ $k=k_{n)$

Definiție

Se consideră o curbă pe o varietate parametrizată de lungimea curbei cu un vector tangent unitar . Curbura sa este egală cu norma derivatei covariante a vectorului : . Dacă se află pe , curbura geodezică este egală cu norma proiecției derivatei covariante pe spațiul tangent al subvarietății. Dimpotrivă, curbura normală este egală cu norma proiecției pe fascicul normal al subvarietății în punctul luat în considerare. $\gamma$ ${\bar {M)}$ $T=d\gamma /ds$ $T$ $k=\|DT/ds\|$ $\gamma$ $M$ $DT/ds$ $DT/ds$

Dacă varietatea ambientală este un spațiu euclidian , atunci derivata covariantă este egală cu derivata obișnuită . $\mathbb {R} ^{n}$ $DT/ds$ $dT/ds$

Exemplu

Fie o sferă unitară în spațiul euclidian tridimensional . Curbura normală a unei sfere este 1, indiferent de direcția luată în considerare. Cercurile mari au curbură , deci au curbură geodezică zero și, prin urmare, sunt geodezice. Cercurile mai mici de rază vor avea curbură și curbură geodezică . $M$ $S^{2}$ $S^{2}$ $k=1$ $r$ $1/r$ $k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}$

Unele rezultate folosind curbura geodezică

Curbura geodezică nu este altceva decât curbura obișnuită calculată pe subvarietate . Nu depinde de modul în care este plasată subvarietatea în . $M$ $M$ ${\bar {M)}$
Geodezicul on are curbură geodezică zero, ceea ce este echivalent cu a spune că este ortogonală cu spațiul tangent la . $M$ $DT/ds$ $M$
Pe de altă parte, curbura normală depinde strict de modul în care este amplasată subvarietatea în spațiul ambiental, dar puțin de curbă - depinde doar de punctul de pe varietate și de direcția , dar nu de . $k_n$ $T$ $DT/ds$
În geometria riemanniană generală, derivata se calculează folosind legătura Levi-Civita a varietatii ambientale: . Se împarte într-o parte tangentă și o parte normală pentru o subvarietă, . Partea tangentă este derivata obișnuită a lui v ( acesta este un caz special al ecuației lui Gauss pentru ecuația Peterson-Codazzi ), în timp ce partea normală este , unde este a doua formă pătratică a lui . ${\bar {\nabla ))$ $DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T$ ${\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }$ $\nabla _{T}T$ $M$ $\mathrm {I\!I} (T,T)$ $\mathrm{I\!I}$
Formula Gauss-Bonnet .

Vezi și

Literatură

Manfredo P. do Carmo. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor. - Prentice-Hall, 1976. - ISBN 0-13-212589-7 .
Heinrich Guggenheimer. Suprafețe // Geometrie diferențială. - Dover, 1977. - ISBN 0-486-63433-7 .
Yu.S. Slobodyan. Curbura geodezică // Enciclopedia Matematicii. — EMS Press, 2001.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Curbura geodezică (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .