Teorema foamei-Șafarevici

Teorema Golod-Șafarevici este o teoremă a algebrei. A fost formulată și dovedită de E. S. Golod și I. R. Shafarevich în 1964 [1] [2] Consecințele importante ale acesteia sunt răspunsul negativ la problema Kurosh (există o algebră nulă care nu este nilpotentă local) [3] , un negativ răspuns la problema generală Burnside (există un grup periodic care nu este local finit) [4] .

Condiții

Fie un inel polinomial în variabile necommutante peste un câmp arbitrar . Fie o algebră gradată datorită definiției unei funcții de grad pe ea. $T=F\left[x_{1},...,x_{d}\right]$ $x_{1},...,x_{d)$ $F$ $T$

Să o reprezentăm ca o sumă de subspații , unde , și are o bază de elemente de formă , unde variabilele sunt alese din mulțime . $T$ $T=T_{0}+T_{1}+\ldots +T_{n}+\ldots$ $T_{0}=F$ $T_{n}$ $d^{n)$ $x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{n}}$ $x_{i_{j)}$ $\left\{x_{1},...,x_{d}\right\}$

Numim elementele spațiului elemente omogene de grad . $T_{n}$ $n$

Fie un ideal cu două fețe al algebrei , generat de elemente omogene de grade , respectiv. Să o aranjam astfel încât . Numărul acelor elemente ale căror grade sunt egale va fi notat cu . ${\mathfrak {U}}=(f_{1},f_{2},...)$ $T$ $f_{1},f_{2},...$ $n_{1},n_{2},...$ $n_{1},n_{2},...$ $2\leqslant n_{1}\leqslant n_{2}\leqslant \ldots$ $f_{j)$ $i$ $r_{i)$

Algebra coeficientului moștenește gradarea din cauza faptului că idealul este generat de elemente omogene . $A=T/{\mathfrak {U}}$ $T$ ${\mathfrak {U}}$

Algebra coeficientului poate fi reprezentată ca o sumă , unde . $A=A_{0}+A_{1}+\ldots +A_{n}+\ldots$ $A_{i}\simeq T/{\mathfrak {U}}\cap T_{i}$

Lasă . $b_{n}=\dim _{F}A_{n}$

Formulare

Algebra descrisă în condițiile teoremei are următoarele proprietăți: $A$

$b_{n}\geqslant db_{n-1}-\sum _{n_{i}\leqslant n}b_{n-n_{i))$ pentru toată lumea . $n\geqslant 1$
Dacă pentru fiecare , atunci este infinit-dimensional peste . $i$ $r_{i}\leqslant \left({\frac {d-1}{2}}\right)^{2}$ $A$ $F$

Dovada

Demonstrarea teoremei ocupă pagini din carte [5] $patru$

Vezi și

Problemă cu Burnside

Note

↑ Golod E. S. Despre nil-algebre și p-grupuri finit aproximabile // Izvestiya AN SSSR. Serii matematice. - 1964. - T. 28, numărul 2 . - S. 273-276 .
↑ Golod E. S. , Şafarevici I. R. Pe turnul câmpurilor de clasă // Izvestia Academiei de Ştiinţe a URSS. Serii matematice. - 1964. - T. 28, numărul 2 . - S. 261-272 .
↑ Inele necomutative, 1972 , p. 184.
↑ Inele necomutative, 1972 , p. 185.
↑ Inele necomutative, 1972 , p. 180-183.

Literatură

Herstein I. Inele necomutative. - M . : Mir, 1972. - 191 p.