Egalitatea derivatelor mixte

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 noiembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Derivatele parțiale mixte ale aceleiași funcție, care diferă doar în ordinea (ordinea) diferențierii, sunt egale între ele cu condiția să fie continue. O astfel de proprietate se numește egalitatea derivatelor mixte .

Afirmația despre egalitatea derivatelor mixte în sine este menționată în diferite surse ca teorema lui Schwarz , teorema lui Clairaut sau teorema lui Yang .

Teorema

Definiția unui derivat mixt

Să fie dată o funcție (scalară) suficient de netedă a mai multor variabile: $f$

(1)\qquad f=f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})

Putem lua derivata parțială a acestei funcții în raport cu unul dintre argumente , considerând în același timp argumentele rămase ca parametri constanți. Ca rezultat, vom obține o nouă funcție: $x_{i}$

(2)\qquad \phi (x_{i})={\partial f \over \partial x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\dots x_{i-1} ,x_{i+1},\dots x_{n}=const}

Această nouă funcție depinde și de celelalte argumente ca parametri. Adică, valoarea numerică depinde în general de aceleași variabile ca și funcția originală : $\phi$ $x_{1},x_{2},\dots x_{n)$ $f$

(3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})

Dacă funcția se dovedește a fi suficient de netedă, atunci o putem diferenția și luând o derivată parțială față de același argument sau de un argument diferit : $\phi$ $x_{j}$

(4)\qquad {\partial \phi \over \partial x_{j)}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i)}

Dacă , atunci expresia din partea dreaptă a egalității (4) se numește derivată mixtă . $j\neq i$

Baza teoremei

Pentru o funcție lină a multor variabile, valoarea derivatei mixte nu depinde de ordinea diferențierii:

(5)\qquad {\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j)}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}

Teorema este de bază în teoria funcțiilor multor variabile și este utilizată pe scară largă în fizica matematică, teoria ecuațiilor cu diferențe parțiale și geometria diferențială.

Gradul necesar de netezime

Gradul necesar de netezime trebuie specificat pas cu pas.

1. Valabilitate pentru o funcție analitică (teoremă).
2. Valabilitate pentru o clasă mai largă de funcții care au numai astfel de derivate continue în vecinătatea unui punct:

(6)\qquad {\partial f \over \partial x_{i)),\;{\partial f \over \partial x_{j)),\;{\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j)),{\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i))

3. Întrucât pentru indici fiși toate derivatele din lista (6) sunt luate cu condiția ca orice al treilea argument să fie o constantă, funcția (precum și toate derivatele (6)) pot fi discontinue în raport cu al treilea argument. De exemplu, să compunem o funcție din doi termeni: $i,j$ $x_k$ $f$

f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=\Phi (x_{i},x_{j})+Z(\dots x_{i-1},x_{ i+1},\dots x_{j-1},x_{j+1},\dots )

unde primul termen este o funcție lină a două argumente, iar al doilea termen este discontinuu în toate punctele.

O rafinare suplimentară a netezimii funcției trebuie făcută în cursul demonstrației teoremei; aceasta va fi formulată chiar la sfârșit.

Demonstrarea teoremei

După cum sa menționat mai sus, pentru a demonstra teorema, se poate ignora dependența funcției de al treilea argument. Prin urmare, pentru ușurința notării, vom schimba notația în , adică vom lua în considerare o astfel de funcție a două variabile: $x_{i},x_{j)$ $X y$

(7)\qquad f=f(x,y)

De asemenea, pentru a simplifica formulele, vom desemna derivate parțiale prin indici în partea de jos a funcției:

(8)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f(x,y) \over \partial x},\;f_{y}(x,y)={\partial f (x,y) \over \partial y}

(8a)\qquad f_{xy}={\partial ^{2}f \over \partial x\partial y},\;f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}

Să existe o derivată mixtă într-un punct: $(X y)$

(9)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,y)-f_{y}(x, y) \over \Delta x}

Să presupunem că o derivată mixtă există la , și că există și o primă derivată de-a lungul liniei (orizontale) $f_{xy}$ $(X y)$ $f_{y}(x,y)$ $y=const$ .

În plus, diferența de derivate este egală cu derivata diferenței, așa că transformăm formula (9) în:

(10)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\left[f (x+\Delta x,y)-f(x,y)\dreapta]

Această transformare nu impune condiții suplimentare, deoarece diferența de funcții diferențiabile este întotdeauna o funcție diferențiabilă.

În plus, diferența dintre parantezele pătrate a formulei (10) poate fi scrisă ca o integrală definită a derivatei:

(11)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\int _{ x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi

Este necesar să existe o derivată parțială de-a lungul unei linii drepte $f_{x}$ $y=const$ .

Acum scriem derivata parțială față de y în formula (11) conform definiției derivatei ca limită:

(12)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{1 \over \Delta y}\left(\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y+\Delta y)d\xi -\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi \right)

După cum puteți vedea, este necesar ca derivata parțială să existe nu numai pe linie , ci într-o vecinătate bidimensională a punctului . $f_{x}$ $y=const$ $(X y)$

În plus, diferența integralelor este egală cu integrala diferenței și un factor constant poate fi introdus sub semnul integralului : ${1 \over \Delta y}$

(13)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^ {x+\Delta x}{f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}d\xi

De asemenea, această transformare nu impune condiții suplimentare, deoarece diferența de funcții integrabile este o funcție integrabilă.

Conform teoremei Lagrange, integrandul din formula (13) este egal cu derivata din punctul de mijloc:

(14)\qquad {f_{x}(\xi,y+\Delta y)-f_{x}(\xi,y) \over \Delta y}=f_{yx}(\xi,\eta )

Punctul de mijloc este o funcție:

(14a)\qquad \eta =\eta (\xi,\Delta y)

ale căror valori se află în interval (dacă, de exemplu, ) $\Delta y>0$

(14b)\qquad \eta \in \,[y,y+\Delta y]

Pentru validitatea lui (14), este necesară existența unei derivate mixte într-o vecinătate bidimensională a punctului . $f_{yx}={\partial ^{2}f \peste \partial y\partial x)$ $(X y)$

Pentru a finaliza demonstrația, trebuie să presupunem că derivata mixtă este continuă într-un punct în funcție de două variabile. Valoarea acestei derivate într-un punct apropiat este egală, până la un termen infinitezimal, cu valoarea derivatei în punctul : $(X y)$ $(\xi ,\eta )$ $(X y)$

(15)\qquad f_{yx}(\xi,\eta)=f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y)

Derivata mixtă există într-o vecinătate bidimensională a unui punct și este continuă în acel punct în funcție de două variabile. $f_{yx)$ $(X y)$

Înlocuiți (14) și (15) în (13):

(16)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^ {x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi

Rețineți că formula (16) este echivalentă cu formula (13) (deși în notație diferită) și, prin urmare, integrala și ambele granițe există. Deoarece integrandul din (16) este integrabil, iar primul termen este o constantă în raport cu variabila de integrare , al doilea termen se dovedește a fi, de asemenea, integrabil și putem împărți integrala în suma a două integrale, prima dintre care este ușor de luat ca o integrală a constantei: $f_{yx}(x,y)$ $\xi$

(17)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi =\ int _{x}^{x+\Delta x}f_{yx}(x,y)d\xi +\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y) d\xi =

=f_{yx}\Delta x+\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi

După înlocuirea (17) în (16), putem lua termenul constant mai întâi în afara primei granițe și apoi în afara celeilalte granițe:

(18)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\left(f_{yx}(x,y)\Delta x+\lim _ {\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \right)=

=f_{yx}(x,y)+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x} ^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi

Să arătăm că al doilea termen din ultima expresie a formulei (18) este egal cu zero. Să luăm un număr pozitiv arbitrar . Continuitatea derivatei mixte într-un punct înseamnă că există un număr pozitiv astfel încât pentru fiecare punct din interiorul pătratului să fie valabilă următoarea inegalitate: $\epsilon$ $f_{yx)$ $(X y)$ $\delta$ $(\xi ,\eta )$ $|\xi -x|<\delta ,\;|\eta -y|<\delta$

(19)\qquad |o(\xi -x,\eta -y)|=|f_{yx}(\xi ,\eta )-f_{yx}(x,y)|<\epsilon

Dacă luăm numere pozitive , atunci integrala din ultimul termen al formulei (18) este estimată de mai sus: $\Delta x<\delta ,\;\Delta y<\delta$

(20)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi,\Delta y)-y)d\xi <\int _{x }^{x+\Delta x}\epsilon d\xi =\epsilon \Delta x

Să notăm acest termen $L$

(21)\qquad L=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\ Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \leq \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _ {\Delta y\rightarrow 0}\epsilon \Delta x=\epsilon

În mod similar (dacă luăm ), avem o limită inferioară: $-\epsilon <\Delta x<0$

(22)\qquad L\geq -\epsilon

Deoarece un număr pozitiv poate fi arbitrar mic, rezultă în mod necesar . Teorema a fost demonstrată. $\epsilon$ $L=0$

Rafinarea netezirii unei funcții

După cum se poate observa în cursul demonstrației, funcția trebuie să aibă o derivată mixtă (de exemplu, ) la un punct, precum și existența unei derivate a doua mixte într-o vecinătate bidimensională a punctului și a acestuia. continuitate în acest moment. Această condiție implică și existența unei derivate de -a lungul unui segment de dreaptă și existența unei derivate într-o vecinătate bidimensională a unui punct. $f_{xy}$ $f_{yx)$ $f_{y)$ $y=const$ $f_{x}$

În plus, existența într-un punct rezultă din două fapte: (a) există o derivată de-a lungul unui segment de dreaptă care trece prin punctul , (b) există o derivată mixtă și este continuă în acest punct. $f_{xy}$ $(X y)$ $f_{y)$ $y=const$ $(X y)$ $f_{yx)$

Exemplu

Luați în considerare funcția

(23)\qquad f(x,y)=xy+y^{2}\chi (y)

unde funcția Dirichlet este zero la punctele raționale și una la cele iraționale. Funcția (23) este definită pe întregul plan; este continuă (în funcție de două variabile) de-a lungul dreptei și este discontinuă în toate celelalte puncte ale planului. $\chi (y)$ $y={m \over n)$ $y=0$

Peste tot există o derivată parțială continuă:

(24)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f \over \partial x}=y

și, de asemenea, unul dintre derivatele mixte:

(25)\qquad f_{yx}(x,y)={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}=1

Derivata parțială față de y există numai în punctele dreptei : $y=0$

(26)\qquad f_{y}(x,0)=x

De asemenea, în aceleași puncte ale dreptei există o derivată a doua mixtă:

(27)\qquad f_{xy}(x,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,0)-f_{y}(x, 0) \over \Delta x}=1

După cum puteți vedea, pentru punctele dreptei , condițiile teoremei sunt îndeplinite și ambele derivate mixte sunt egale. $y=0$

Contraexemplu

Luați în considerare o funcție a două variabile $X y$

(28)\qquad f(x,y)={|ax+by|^{3} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2)}))

unde literele denotă niște parametri diferiti de zero. Formula (28) definește o funcție continuă peste tot pe plan, cu excepția originii . Putem redefini funcția la origine $a,b$ $x=0,\;y=0$ $f(x,y)$

(29)\qquad f(0,0)=0

Conform acestor definiții, funcția va fi, de asemenea, continuă la origine, ceea ce poate fi văzut prin prezentarea formulei (28) în sistemul de coordonate polare (și direcționarea ): $r\rightarrow 0$

(30)\qquad f(r,\phi )=(a^{2}+b^{2})^{3 \over 2}\,r^{2}|\sin(\phi + \phi _{0})|^{3}

Să arătăm că pentru această funcție extinsă există derivate mixte la origine, dar nu sunt egale între ele. $f(x,y)$

Mai întâi, calculăm primele derivate . Ca rezultat intermediar, observăm că funcția cub modulului este de două ori diferențiabilă, iar derivatele sale prima și a doua sunt calculate prin formulele: $f_{x},\,f_{y)$

(31)\qquad {d \over dx}|x|^{3}=3x|x|

(31a)\qquad {d^{2} \over dx^{2}}|x|^{3}={d \over dx}(3x|x|)=6|x|

Acum, ținând cont de (28) și (31), scriem primele derivate ale funcției într-un punct din plan, altul decât originea ( ): $f(x,y)$ $r={\sqrt {x^{2}+y^{2)}}$

(32)\qquad f_{x}=3a{(ax+by)|ax+by|  \over r}-{x \over r^{3}}|ax+by|^{3}

(33)\qquad f_{y}=3b{(ax+by)|ax+by|  \over r}-{y \over r^{3}}|ax+by|^{3}

De asemenea, puteți calcula primele derivate la origine, pe baza definiției unei derivate:

(32a)\qquad f_{x}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f(x,0)-f(0,0) \over x}=\lim _{ x\rightarrow 0}{|ax|^{3} \over {x|x|}}=0

În mod similar

(33a)\qquad f_{y}(0,0)=0

Ne întoarcem acum la calculul derivatelor mixte la origine:

(34)\qquad f_{xy}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f_{y}(x,0)-f_{y}(0,0) \over x }=\lim _{x\rightarrow 0}{1 \over x}\left({3bax|ax| \over |x|}\right)=3ab|a|

Un calcul similar oferă:

(35)\qquad f_{yx}(0,0)=3ab|b|

Este ușor de observat că formulele (34) și (35) dau rezultate diferite dacă:

(36)\qquad |a|>0,\;|b|>0,\;|a|\neq |b|

Motivul acestei inegalități este că condiția teoremei nu este îndeplinită - ambele derivate mixte (deși există peste tot) sunt discontinue la origine.

Puteți lua în considerare și funcția

f(x,y)={xy(x^{2}-y^{2}) \over x^{2}+y^{2}}

Dovada simplificată pentru funcții analitice

O funcție analitică a două variabile (cel puțin local) se extinde într-o serie de puteri convergente:

(37)\qquad f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\infty }a_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_ {0})^{m}

După cum se știe, o serie de puteri poate fi diferențiată termen cu termen în raza sa de convergență. Astfel, găsim primele derivate:

(38)\qquad f_{x}=\sum _{n,m=0}^{\infty }na_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_ {0})^{m}

(39)\qquad f_{y}=\sum _{n,m=0}^{\infty }ma_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0) })^{m-1}

Diferențierea repetată a (38) și (39) oferă aceeași formulă pentru ambele derivate mixte:

(40)\qquad f_{xy}=f_{y}x=\sum _{n,m=0}^{\infty }nma_{nm}(x-x_{0})^{n- 1}(a-a_{0})^{m-1}

Vezi și

Derivată parțială mixtă

Literatură

Hazewinkel, Michael. Enciclopedia de matematică (nedefinită) . - Springer, 2001. - ISBN 978-1556080104 .
Kleinert, H. Câmpuri cu valori multiple în materie condensată, electrodinamică și gravitație (engleză) . - World Scientific , 2008. - ISBN 978-981-279-170-2 .