Funcția Dirichlet

Funcția Dirichlet este o funcție care ia unu pe valori raționale și zero pe cele iraționale , un exemplu standard de funcție discontinuă de pretutindeni . Introdus în 1829 de către matematicianul german Dirichlet . [unu]

Definiție

Simbolic, funcția Dirichlet este definită după cum urmează: [2] $D:\mathbb {R} \rightarrow \{0,1\}$

D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ;\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases} }

Proprietăți

Ea aparține celei de-a doua clase Baer , adică nu poate fi reprezentată ca o limită (punctual) a unei secvențe de funcții continue, dar poate fi reprezentată ca o limită iterată a unei secvențe de funcții continue [3] [4] :

D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)

Fiecare punct din domeniul definiției este un punct de discontinuitate de al doilea fel (și unul semnificativ în acest sens). [5]

Este o funcție periodică , perioada sa este orice număr rațional care nu este egal cu zero; Funcția nu are punct principal. [6]

Nu este integrabil în sensul lui Riemann . [7] Funcție simplă ; măsurabil în raport cu măsura Lebesgue ; integrala Lebesgue a funcției Dirichlet este egală cu zero pe orice interval numeric; aceasta rezultă din faptul că măsura Lebesgue a mulțimii numerelor raționale este egală cu zero.

Variații și generalizări

O variație a funcției Dirichlet este funcția Riemann , numită și „funcția Thomas” ( Thomae ).

Note

↑ Ferreiros, 2013 , p. 150.
↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 115.
↑ Dunham, 2005 , p. 197.
↑ Rudin, 1976 , p. 162 Exemplul 7.5.
↑ Zorich, 2019 , p. 145.
↑ encyclopediamath , comentariu.
↑ Nikolsky, 1983 , p. 357.

Literatură

Jose Ferreiros. Labirintul gândirii: o istorie a teoriei mulțimilor și rolul acesteia în matematica modernă. - 2013. - 440 p.
G.M. Fikhtengolts. Curs de calcul diferențial și integral. - Ed. a VIII-a - Fizmatlit, 2003. - T. 1.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. - Moscova: „Nauka”, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1983. - T. 1.
Funcția Dirichlet . Enciclopedia de matematică . (nedefinit)
V. Nemytsky, M. Sludskaya, A. Cherkasov. Curs de analiză matematică. - Moscova, Leningrad: Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1940. - T. 1.
William Dunham. Galeria de calcul. - Princeton University Press, 2005. - ISBN 0-691-09565-5 .
W. Rudin. Fundamentele analizei matematice. - Moscova: Mir, 1976.
V. A. Zorich. Analiza matematică. Partea 1. - Ed. a X-a, corectată. — Moscova: MTsNMO, 2019.

Link -uri

Funcția Dirichlet — de la MathWorld

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Rusă mare