Teorema valorii medii Cauchy

Teorema valorii medii a lui Cauchy este o generalizare a formulei incrementelor finite .

Formulare

Fie două funcții și să fie date astfel încât:

1. şi sunt definite şi continue pe interval ;
2. derivate și sunt definite și finite pe interval ;
3. derivata nu dispare pe interval (deci, prin teorema lui Rolle , ).

Atunci există pentru care este adevărat:

Note

• După ce am cerut în mod explicit acest lucru , putem slăbi condiția 3 și putem cere doar asta și nu dispare simultan pe interval .
• Puteți omite complet condiția 3 rescriind formula după cum urmează: .
• Geometric, afirmația poate fi reformulată astfel: dacă și legea mișcării pe plan este stabilită (adică abscisa și ordonata sunt determinate prin parametrul ), atunci pe orice segment al unei astfel de curbe, specificat de parametrii și , există un vector tangent coliniar cu vectorul deplasare de la la .

Dovada

Pentru a demonstra acest lucru, introducem funcția

Este ușor de observat că condițiile teoremei lui Rolle sunt îndeplinite pentru aceasta. Folosind această teoremă, obținem că există un punct în care derivata funcției este egală cu zero:

Mutând al doilea termen din această egalitate la dreapta, obținem o formulă din formularea cea mai generală a teoremei.

În formularea originală, rămâne să împărțim egalitatea la și . Ambele numere vor fi diferite de zero chiar dacă cerința 3 este relaxată la absența zerourilor comune pentru și : acest lucru este necesar în mod explicit, iar dacă , atunci

.

Dar din moment ce , rezultă că este o contradicție cu condiția.

Literatură

• Teorema valorii medii a lui Cauchy la Encyclopedia of Mathematics