Teorema Kronecker-Cappelli

Teorema Kronecker-Capelli este un criteriu pentru compatibilitatea unui sistem de ecuații algebrice liniare:

Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse.

Pentru ca un sistem liniar să fie compatibil , este necesar și suficient ca rangul matricei extinse a acestui sistem să fie egal cu rangul matricei sale principale . Dovedit de Leopold Kronecker, Alfredo Capelli .

Explicații

Sistemul de ecuații este rezolvabil dacă și numai dacă , unde este matricea augmentată obținută din matrice prin alocarea coloanei [1] . $Ax=B$ $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} (A|B)$ $(A|B)$ $A$ $B$

Dovada (condiții de compatibilitate a sistemului)

Necesitate

Lăsați sistemul să fie consecvent. Apoi, există numere astfel încât . Prin urmare, coloana este o combinație liniară a coloanelor matricei . Din faptul că rangul unei matrice nu se schimbă dacă un rând (coloană) este șters din sistemul rândurilor sale (coloane) sau este atribuit un rând (coloană), care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), rezultă că . $x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathbb R}$ $b=x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}$ $b$ $a_1,\dots,a_n$ $A$ $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B$

Suficiență

Lasă . Să luăm câteva minore de bază în matrice . Deoarece , atunci va fi, de asemenea, baza minoră a matricei . Apoi, conform teoremei minore ale bazei , ultima coloană a matricei va fi o combinație liniară a coloanelor de bază, adică coloanele matricei . Prin urmare, coloana de membri liberi ai sistemului este o combinație liniară a coloanelor matricei . $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B=r$ $A$ $\operatorname {rang} A|B=r$ $A|B$ $A|B$ $A$ $A$

Consecințele

Numărul de variabile principale ale sistemului este egal cu rangul sistemului.
Un sistem consistent va fi definit (soluția sa este unică) dacă rangul sistemului este egal cu numărul tuturor variabilelor sale.

Vezi și

Note

↑ Probleme și teoreme ale algebrei liniare, 1996 , p. 65.

Literatură

V. A. Ilyin, G. D. Kim Linear Algebra and Analytic Geometry, Moscova: TK Velbi, Editura Prospekt, 2007, 400 p.
Prasolov VV Probleme și teoreme ale algebrei liniare. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .