Teorema Kronecker-Capelli este un criteriu pentru compatibilitatea unui sistem de ecuații algebrice liniare:
Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse. |
Pentru ca un sistem liniar să fie compatibil , este necesar și suficient ca rangul matricei extinse a acestui sistem să fie egal cu rangul matricei sale principale . Dovedit de Leopold Kronecker, Alfredo Capelli .
Sistemul de ecuații este rezolvabil dacă și numai dacă , unde este matricea augmentată obținută din matrice prin alocarea coloanei [1] .
Lăsați sistemul să fie consecvent. Apoi, există numere astfel încât . Prin urmare, coloana este o combinație liniară a coloanelor matricei . Din faptul că rangul unei matrice nu se schimbă dacă un rând (coloană) este șters din sistemul rândurilor sale (coloane) sau este atribuit un rând (coloană), care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), rezultă că .
Lasă . Să luăm câteva minore de bază în matrice . Deoarece , atunci va fi, de asemenea, baza minoră a matricei . Apoi, conform teoremei minore ale bazei , ultima coloană a matricei va fi o combinație liniară a coloanelor de bază, adică coloanele matricei . Prin urmare, coloana de membri liberi ai sistemului este o combinație liniară a coloanelor matricei .