Sistem de ecuații algebrice liniare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 ianuarie 2021; verificările necesită 7 modificări .

Un sistem de ecuații algebrice liniare ( sistem liniar , sunt folosite și abrevierile SLAE , SLUE ) este un sistem de ecuații în care fiecare ecuație este o ecuație liniar - algebrică de gradul I.

În versiunea clasică, coeficienții la variabile, termenii liberi și necunoscutele sunt considerați numere reale , dar toate metodele și rezultatele sunt păstrate (sau generalizate în mod natural) în cazul oricăror câmpuri , de exemplu, numere complexe .

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare este una dintre problemele clasice ale algebrei liniare , care i-a determinat în mare măsură obiectele și metodele. În plus, ecuațiile algebrice liniare și metodele de rezolvare a acestora joacă un rol important în multe domenii aplicate , inclusiv programarea liniară , econometria .

Poate fi generalizat la cazul unui set infinit de necunoscute .

Convenții și definiții

Vedere generală a sistemului de ecuații algebrice liniare:

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_ {1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{ 2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}

Aici este numărul de ecuații și este numărul de variabile, sunt necunoscutele care trebuie determinate, se presupune că sunt cunoscuți coeficienții și termenii liberi . Indicii de coeficienți în sistemele de ecuații liniare ( ) se formează conform următoarei convenții: primul indice ( ) indică numărul ecuației, al doilea ( ) este numărul variabilei la care se află acest coeficient [1] . $m$ $n$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $a_{11},a_{12},\dots,a_{mn)$ $b_{1},b_{2},\dots,b_{m)$ $a_{{ij}}$ $i$ $j$

Un sistem se numește omogen dacă toți membrii săi liberi sunt egali cu zero ( ), altfel este eterogen . $b_{1}=b_{2}=\dots =b_{m}=0$

Un sistem patratic de ecuații liniare este un sistem în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute (). Un sistem în care numărul de necunoscute este mai mare decât numărul de ecuații este subdeterminat , astfel de sisteme de ecuații algebrice liniare sunt numite și dreptunghiulare . Dacă există mai multe ecuații decât necunoscute, atunci sistemul este supradeterminat . $m=n$

Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare este un set de numere astfel încât substituția lor corespunzătoare în loc de în sistem transformă toate ecuațiile sale în identități . $n$ $c_{1},c_{2},\dots,c_{n)$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

Un sistem se numește compatibil dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are soluții. Soluțiile sunt considerate diferite dacă cel puțin una dintre valorile variabilelor nu se potrivește. Un sistem de îmbinări cu o singură soluție se numește definit , dacă există mai multe soluții - subdeterminate .

Forma matricei

Sistemul de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice ca:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

ax = b

Aici , este matricea sistemului, este coloana de necunoscute și este coloana de termeni liberi. Dacă o coloană de termeni liberi este atribuită matricei din dreapta, atunci matricea rezultată se numește extinsă. $A$ $X$ $b$ $A$

Teorema Kronecker-Capelli stabilește o condiție necesară și suficientă pentru compatibilitatea unui sistem de ecuații algebrice liniare prin proprietățile reprezentărilor matriceale: sistemul este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale coincide cu rangul matricei extinse.

Sisteme echivalente de ecuații liniare

Sistemele de ecuații liniare se numesc echivalente dacă mulțimea soluțiilor lor este aceeași, adică orice soluție a unui sistem este și o soluție a altuia și invers. De asemenea, se presupune că sistemele fără soluții sunt echivalente.

Un sistem echivalent cu unul dat poate fi obținut, în special, prin înlocuirea uneia dintre ecuații cu această ecuație înmulțită cu orice număr diferit de zero. Un sistem echivalent se poate obține și prin înlocuirea uneia dintre ecuații cu suma acestei ecuații cu o altă ecuație a sistemului. În general, înlocuirea ecuației unui sistem cu o combinație liniară de ecuații oferă un sistem care este echivalent cu cel original.

Sistemul de ecuații algebrice liniare este echivalent cu sistemul , unde este o matrice nesingulară . În special, dacă matricea în sine este nesingulară și există o matrice inversă pentru aceasta , atunci soluția sistemului de ecuații poate fi scrisă formal ca . $A\mathbf {x} \ =\mathbf {b}$ $CA\mathbf {x} \ =C\mathbf {b}$ $C$ $A$ $A^{-1}$ $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}$

Metode de rezolvare

Metodele directe oferă un algoritm prin care se poate găsi soluția exactă a sistemelor de ecuații algebrice liniare. Metodele iterative se bazează pe utilizarea unui proces iterativ și fac posibilă obținerea unei soluții ca urmare a aproximărilor succesive.

Câteva metode directe:

metoda Gauss
Metoda Gauss-Iordan
Metoda Cramer
Metoda matricei
Metoda de baleiaj (pentru matrici triagonale )
Metoda de descompunere Cholesky sau rădăcină pătrată (pentru matrici simetrice și hermitiene pozitiv-definite )

Metodele iterative stabilesc o procedură de rafinare a unei anumite aproximări inițiale a unei soluții. Când condițiile de convergență sunt îndeplinite, ele permit obținerea oricărei acuratețe prin simpla repetare a iterațiilor. Avantajul acestor metode este că deseori ating o soluție cu o precizie predeterminată mai rapid și, de asemenea, vă permit să rezolvați sisteme mari de ecuații. Esența acestor metode este găsirea punctului fix al ecuației matriceale

\mathbf {x} =A^{\prime }\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\prime }

echivalent cu sistemul inițial de ecuații algebrice liniare. Când se repetă în partea dreaptă a ecuației, de exemplu, în metoda Jacobi (metoda iterației simple) aproximarea găsită în pasul anterior este înlocuită: $\mathbf {x}$

\mathbf {x} _{n+1}=A^{\prime }\mathbf {x} _{n}+\mathbf {b} ^{\prime )

Metodele iterative sunt împărțite în mai multe tipuri, în funcție de abordarea utilizată:

Bazat pe împărțire: $(MN)\mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow M\mathbf {x} =N\mathbf {x} +\mathbf {b} \Rightarrow M\mathbf {x} ^{n+ 1 }=N\mathbf {x} ^{n}+\mathbf {b}$
Tipul variației: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|\rightarrow \min$
Tip proiectie: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow (A\mathbf {x} ,\mathbf {m} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {m} )\forall \mathbf { m}$

Printre metodele iterative:

Metoda Jacobi ( metoda simplă de iterație )
Metoda Gauss-Seidel
Metoda de relaxare
Metoda Multigrid
Metoda Montante
Metoda lui Abramov (adecvată pentru rezolvarea SLAE-urilor mici)
Metoda reziduurilor minime generalizate
Metoda gradientului biconjugat
Metoda gradientului biconjugat stabilizat
Metoda cuadratică a gradienților biconjugați
Metoda reziduurilor cvasi-minime ( QMR )
Metoda de rotație [2]

Note

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linear algebra: Textbook for universities. - Ed. a VI-a, șters. — M.: Fizmatlit, 2004. — 280 p.
↑ Verzhbitsky V. M. Fundamentele metodelor numerice. - M . : Liceu , 2009. - S. 80-84. — 840 p. — ISBN 9785060061239 .

Link -uri

Kuksenko SP, Gazizov TR Metode iterative pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare cu o matrice densă. - Tomsk: Universitatea de Stat din Tomsk , 2007. - 208 p. - ISBN 5-94621-226-5 .
Forsythe J., Moler K. Soluție numerică a sistemelor de ecuații algebrice liniare. - Moscova: Mir , 1969. - 166 p.

Metode de rezolvare a SLAE
Metode directe	Metoda matricei metoda Gauss Metoda Gauss-Iordan Metoda Cramer descompunerea LU Descompunerea Cholesky Metoda de măturare
Metode iterative	metoda Jacobi Metoda Gauss-Seidel Metoda de iterație Metoda de relaxare Metoda gradientului conjugat Metoda gradientului biconjugat Metoda gradientului biconjugat stabilizat
General	matrice inversă Metode de proiecție pentru rezolvarea SLAE Precondiționare

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte