Teorema Courant–Fischer

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 septembrie 2018; verificările necesită 2 modificări .

Teorema Courant–Fischer este o teoremă asupra unei proprietăți a unui operator Hermitian într-un spațiu Hilbert de funcții. Denumită și teorema minimax [1] .

Formulare

\lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}{\frac {(Ax,x)}{( x,x)}}

A

este un operator liniar autoadjunct care acționează într-un complex de dimensiuni finite sau spațiu real,

S

- o singură sferă

e=e_{1}\dots e_{n)

este o bază ortonormală a spațiului , constând din vectorii proprii ai operatorului ,

V

A

\lambda_k

este valoarea proprie a operatorului și

k

A

\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n)

L_{k}

— -subspațiu dimensional al .

k

V

Dovada

$p=n-k+1$ , — -subspațiul dimensional al , — intervalul liniar al vectorilor . . De unde rezultă că . Lasă și . De atunci . Pe de altă parte, din moment ce
$L_{k}$ $k$ $V$
$W_{n-k+1}$ $e_{k}\dots e_{n)$
$\dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1$
$L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnothing }$ $x_{0}\in L_{k}\cap W_{n-k+1)$ $\ \|x_{0}\|=1$
$\lambda _{k}=\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x),$ ${\frac {(Ax_{0},x_{0})}{(x_{0},x_{0})}}\leq \lambda _{k}$
$x_{0}\in L_{k}$