Baza ortogonala

O bază ortogonală (ortonormală) este un sistem ortogonal ( ortonormal ) de elemente ale unui spațiu liniar cu un produs scalar care are proprietatea de completitudine .

Caz cu dimensiuni finite

O bază ortogonală este o bază compusă din vectori ortogonali perechi . O bază ortonormală satisface și condiția de unitate a normei tuturor elementelor sale. Adică este o bază ortogonală cu elemente normalizate.

Acesta din urmă este scris convenabil folosind simbolul Kronecker :

(e_{i},e_{j})=\delta _{ij},

adică produsul scalar al fiecărei perechi de vectori de bază este zero atunci când nu sunt la fel ( ) și este egal cu unu atunci când indicele este același, adică atunci când produsul scalar al oricărui vector de bază cu el însuși este luat . $i\neq j$

O mulțime de lucruri sunt scrise într-o bază ortogonală mult mai ușor decât într-una arbitrară, prin urmare, foarte des încearcă să folosească doar astfel de baze, dacă este posibil, sau utilizarea unei baze speciale non-ortogonale nu oferă o specială specială. comoditati. Sau dacă nu o abandonează în favoarea unei baze de formă generală din motive de generalitate.

O bază ortonormală este auto-duală ( baza sa duală coincide cu ea însăși). Prin urmare, este posibil să nu se facă o distincție între indici superiori și inferiori în ea și să se utilizeze, să zicem, doar indici inferiori (cum este de obicei cazul, cu excepția cazului în care, desigur, în acest caz sunt utilizate numai baze ortonormale).

Independența liniară decurge din ortogonalitate, adică se realizează automat pentru un sistem ortogonal de vectori.

Coeficienți în expansiunea unui vector pe bază ortogonală:

\\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +\ldots +a_{n}\mathbf {e_{n} }

poate fi găsit astfel:

\ a_{i}={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {e_{i}} )}{(\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{i}} ) }}.

Completitudinea unui sistem ortonormal de vectori este echivalentă cu egalitatea lui Parseval : pentru orice vector, pătratul normei vectorului este egal cu suma pătratelor coeficienților expansiunii sale în baza: ${\mathbf {a}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {a}})=\sum _{i}({\mathbf {a}},{\mathbf {e_{i}}})^{2},

Relații similare sunt valabile și pentru cazul cu dimensiuni infinite (vezi mai jos).

Caz infinit-dimensional

O bază ortogonală este un sistem de elemente ortogonale perechi ale unui spațiu Hilbert, astfel încât orice element poate fi reprezentat în mod unic ca o serie convergentă de norme. $e_{1},e_{2},...,e_{n},...$ $X$ $x\în X$

x=\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n},

numită seria Fourier a unui element din sistem . $X$ $\{e_{n}\}$

Adesea baza este aleasă astfel încât apoi se numește bază ortonormală . În acest caz, numerele , numite coeficienți Fourier ai unui element în bază ortonormală , sunt de forma $\{e_{n}\}$ $|e_{n}|=1$ $un$ $X$ $\{e_{n}\}$

a_{n}=(x,e_{n})

O condiție necesară și suficientă pentru ca un sistem ortonormal să fie o bază este egalitatea lui Parseval . $\{e_{n}\}$

Un spațiu Hilbert care are o bază ortonormală este separabil și, invers, fiecare spațiu Hilbert separabil are o bază ortonormală.

Dacă un sistem arbitrar de numere este dat astfel încât , în cazul unui spațiu Hilbert cu o bază ortonormală , seria converge în normă către un anumit element . Aceasta stabilește izomorfismul oricărui spațiu Hilbert separabil în spațiu ( teorema Riesz- Fischer). $\{un}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}^{2}<\infty$ $\{e_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n}$ $x\în X$ $l_{2}$

Exemple

Baza standard în spațiul euclidian n-dimensional R n este ortonormală. $e_{1}=(1,0,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}}}, e_{2}=(0,1,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}} },\ldots e_{n}=(0,0,\ldots ,1)^{{\mathrm {T))}$

Setul formează o bază ortonormală în . $\{f_{n}={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}e^{{inx}},n\in {\mathbb {Z}}\}$ $L^{2}([-\pi ,\pi ])$

Literatură

Gelfand I. M. Prelegeri despre algebra liniară, Moscova: Nauka, 1971.
Moren K. Metode spațiale Hilbert. M.: Mir, 1965.

Vezi și

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte