Teorema lui Legendre

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 27 mai 2016; verificarea necesită 1 editare .

Teorema lui Legendre este o afirmație despre condițiile de existență a soluțiilor pentru o anumită subclasă de ecuații diofantine pătratice , stabilită de Legendre în 1785 .

Formulare

Ecuația

aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}=0,

ai cărui coeficienți nu sunt toți de același semn și sunt numere coprime perechi , are o soluție netrivială în numere întregi dacă și numai dacă: $a,b,c$ $(X,Y,Z)$

$-ab$ este restul patratic modulo , $c$
$-bc$ este restul patratic modulo , $A$
$-ca$ este restul patratic modulo . $b$

Despre dovada

Necesitatea acestor condiții este evidentă, suficiența rezultă din teorema Minkowski-Hasse pentru formele pătratice : o formă pătratică reprezintă zero în dacă și numai dacă reprezintă zero în și în toate câmpurile numerelor -adice . Pentru solvabilitatea în , sunt necesare semne diferite, pentru solvabilitatea în , sunt necesare relațiile simetrice de mai sus. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $p$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $\mathbb {R}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $p\mid abc$

Legătura cu teorema celor patru pătrate

Această teoremă poate fi folosită pentru a demonstra teorema de patru pătrate a lui Lagrange, care afirmă că toate numerele naturale pot fi scrise ca sumă a patru pătrate. Gauss a subliniat că teorema celor patru pătrate decurge cu ușurință din faptul că orice număr întreg pozitiv egal cu 1 sau 2 este suma a 3 pătrate, deoarece orice număr întreg pozitiv nedivizibil cu 4 poate fi redus la această formă prin scădere. 0 sau 1 din asta. Totuși, demonstrarea Teoremei celor trei pătrate este semnificativ mai dificilă decât demonstrarea directă a teoremei celor patru pătrate, care nu folosește teorema celor trei pătrate. Într-adevăr, teorema celor patru pătrați a fost demonstrată mai devreme, în 1770.

Literatură

Borevici Z.I., Şafarevici I.R. Teoria numerelor. - M . : Nauka, 1985. - S. 77-80. — 504 p.