Ecuația diofantină

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 februarie 2022; verificările necesită 3 modificări .

O ecuație diofantină (de asemenea, o ecuație în numere întregi ) este o ecuație de forma

P(x_{1},\dots ,x_{m})=0,

unde este o funcție întreagă , de exemplu, un polinom cu coeficienți întregi, iar variabilele iau valori întregi. Ecuația „Diophantine” este numită după matematicianul grec antic Diophantus . $P$ $x_{i}$

De asemenea, atunci când se ia în considerare problema solvabilității, variabilele sunt adesea împărțite în parametri (ale căror valori se presupune că sunt fixe) și necunoscute. Deci ecuația

P(a_{1},\dots,a_{n},x_{1},\dots,x_{m})=0,

cu parametri și necunoscute este considerată rezolvabilă pentru valorile date ale setului de parametri dacă există un set de numere pentru care această egalitate devine adevărată. $a_{1},\puncte ,a_{n}$ $x_{1},\dots,x_{m)$ $(a_{1},\dots, a_{n})$ $(x_{1},\dots,x_{m})$

Astfel, ecuațiile diofante se numesc ecuații cu coeficienți întregi pentru care este necesar să se găsească soluții întregi (sau naturale). În acest caz, numărul de necunoscute din ecuație trebuie să fie de cel puțin două [1] . Ecuațiile și-au primit numele în onoarea remarcabilului matematician antic Diophantus din Alexandria , despre care se crede că a fost primul care a studiat sistematic ecuațiile nedefinite și a descris metode de rezolvare a acestora [2] . Toate înregistrările supraviețuitoare sunt adunate în cartea „Aritmetică” [3] . După Diophantus, un studiu similar al ecuațiilor nedefinite a fost efectuat de matematicienii hinduși, începând cu secolul al V-lea [4] . În Europa, practic toți marii algebriști ai vremii lor erau angajați în rezolvarea ecuațiilor nedefinite: Leonardo Fibonacci (c. 1170-1250), Francois Viet (1540-1603), Simon Stevin (c. 1549-1620) [5] .

Problema rezolvării ecuațiilor în numere întregi este considerată până la urmă pentru ecuațiile cu o necunoscută, precum și pentru ecuațiile de gradul I și II cu două necunoscute.

Exemple

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$ :
- Soluțiile acestei ecuații sunt triple pitagoreene . $n=2$
- Conform ultimei teoreme a lui Fermat , această ecuație nu are soluții întregi diferite de zero pentru . $n>2$
$\sum \limits _{{k=1}}^{{n-1}}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}$ - Ipoteza lui Euler afirmă că pentru orice număr natural n > 2 această ecuație este de nerezolvat în numere naturale , adică nicio putere a n- a a unui număr natural nu poate fi reprezentată ca o sumă a n -1 a n- a puteri ale altor numere naturale. Ipoteza este o generalizare a ultimei teoreme a lui Fermat, dar a fost infirmată pentru n = 4 și n = 5, după care a fost înaintată conjectura Lander-Parkin-Selfridge . $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$
$x^{2}-ny^{2}=1$ , unde parametrul n nu este un pătrat exact - ecuația lui Pell .
$x^{z}-y^{t}=1$ , unde , este ecuația catalană , care are o soluție unică . $z,t>1$ $3^{2}-2^{3}=1$
$\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}x^{i}y^{{ni}}=c$ pentru și este ecuația Thue . $n\geq 3$ $c\neq 0$

Ecuații liniare diofantine

Vedere generală a ecuației liniare diofantine :

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}=d.

În special, o ecuație diofantină liniară cu două necunoscute are forma:

ax+by=c.\qquad (1)

Dacă (adică cel mai mare divizor comun nu împarte ), atunci ecuația (1) nu este rezolvabilă în numere întregi. Într-adevăr, dacă , atunci numărul din stânga din (1) este divizibil cu , dar numărul din dreapta nu este. Este adevărat și invers: dacă ecuația este valabilă , atunci este rezolvabilă în numere întregi. $(a,b)\nmidul c$ $(a,\;b)$ $c$ $(a,\;b)\neq 1$ $(a,\;b)$ $ax+by=c$ $(a,b)\mid c$

Fie o soluție particulară a ecuației . Apoi, toate soluțiile sale se găsesc prin formulele: $(x_{0},\;y_{0})$ $ax+by=c$

{\begin{cases}x=x_{0}-n{\frac {b}{(a,\;b)}}\\y=y_{0}+n{\frac {a}{ (a,\;b)}}\end{cases}}\quad n\in \mathbb {Z} .

O anumită soluție poate fi construită după cum urmează. Dacă și este divizibil cu , atunci după împărțirea tuturor coeficienților la ecuația ia forma , unde . Pentru ultima ecuație, se obține o anumită soluție din relația Bezout pentru : $(x_{0},\;y_{0})$ $(a,b)\neq 1$ $c$ $(a,b)$ $(a,b)$ $a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$ $(a_{1},b_{1})=1$ $a_{1},b_{1}$

ua_{1}+vb_{1}=1,

din care se poate pune $(x_{0},\;y_{0})=(c_{1}\cdot u,\;c_{1}\cdot v).$

Există o formulă explicită pentru o serie de soluții ale unei ecuații liniare [6] :

{\begin{cases}x_{t}=ca^{\varphi (b)-1}+bt,\\y_{t}=c{\frac {1-a^{\varphi (b) }}{b}}-at,\end{cases}}

unde este funcția Euler și t este un parametru întreg arbitrar. $\varphi (\cdot )$

Ecuații algebrice diofantine

Când luăm în considerare problema solvabilității ecuațiilor algebrice diofantine, se poate folosi faptul că orice sistem de astfel de ecuații poate fi transformat într-o ecuație diofantină de gradul cel mult 4 în numere întregi nenegative, rezolvabilă dacă și numai dacă sistemul original este rezolvabil (în acest caz, setul de variabile și soluțiile de mulțime ale acestei noi ecuații se pot dovedi a fi complet diferite).

Seturi diofantine

O mulțime diofantină este o mulțime formată din mulțimi ordonate de n numere întregi, pentru care există o ecuație diofantică algebrică:

P(a_{1},\dots,a_{n},x_{1},\dots,x_{m})=0,

care este rezolvabil dacă şi numai dacă mulţimea numerelor aparţine acestei mulţimi. Ecuația diofantină luată în considerare se numește reprezentarea diofantină a acestei mulțimi. Un rezultat important obținut de Yu. V. Matiyasevich este că fiecare mulțime enumerabilă are o reprezentare diofantină [7] . $(a_{1},\dots, a_{n})$

Indecidibilitate generală

A zecea problemă a lui Hilbert , formulată în 1900 , este de a găsi un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice Diofantine arbitrare. În 1970 , Yu. V. Matiyasevich a dovedit imposibilitatea algoritmică a acestei probleme. [opt]

Ecuații exponențiale diofantine

Dacă una sau mai multe variabile dintr-o ecuație diofantică sunt incluse în expresia pentru exponentul ridicării la o putere , o astfel de ecuație diofantică se numește exponențială .

Exemple:

Nu există o teorie generală pentru rezolvarea unor astfel de ecuații; au fost investigate cazuri speciale, precum Ipoteza Catalană . Cu toate acestea, majoritatea acestor ecuații încă reușesc să fie rezolvate prin metode speciale, cum ar fi teorema Sturmer sau chiar încercare și eroare .

Vezi și

Note

↑ . Abakumova SI, Guseva AN Ecuații diofantine Cercetare fundamentală și aplicată în lumea modernă. - 2014. - V. 1, Nr. 6. - S. 133-137.
↑ Bashmakova I. G. Diophantine and Diophantine ecuations - Moscova: Nauka, 1972. - 68 p.
↑ Zhmurova, I. Yu. Ecuații diofantine: din antichitate până în prezent. Tânăr om de știință. - 2014. - Nr 9. -S. 1-5
↑ Kozhaev, Yu. P. Matematicianul grec Diophantus și ecuațiile Diofantine. Materiale ale celei de-a IV-a Conferințe științifice și practice din întreaga Rusie „Cultură și societate: istorie și modernitate” - Stavropol: AGRUS. - 2015. - S. 150-154.
↑ Melnikov R. A. Scurtă trecere în revistă a etapelor de dezvoltare a ecuațiilor diofantine. Lucrările conferinței internaționale științifice-practice „Matematică: cercetare și educație fundamentală și aplicată” - Ryazan: editura Universității de Stat din Rusia. S. A. Yesenina, 2016. - S. 429-435.
↑ Vorobyov N. N. Semne de divizibilitate . - M. : Nauka, 1988. - S. 60. - 96 p. - ( Prelegeri populare despre matematică ).
↑ Set diofantin - articol din Encyclopedia of Mathematics . Iu. V. Matiyasevici
↑ A zecea problemă a lui Matiyasevich Yu. V. Hilbert . — M .: Nauka, 1993.

Link -uri

Bashmakova, Isabella G. Diophantine and Diophantine Equations. M.: Nauka, 1972. Traducere germană: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basel/Stuttgart, 1974. Traducere în engleză: Diophantus and Diophantine Equations . Tradus de Abe Shenitzer cu asistența editorială a lui Hardy Grant și actualizat de Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
Bashmakova, Isabella G., Slavutin E.I. O istorie a analizei diofantine de la Diophantus la Fermat . Moscova: Nauka, 1984.
Bashmakova, Izabella G. „Diophante et Fermat”, Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289-306
Bashmakova, Izabella G. „Aritmetica curbelor algebrice de la Diophantus la Poincaré”, Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
Gelfond AO Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi . - M . : Nauka, 1978. - ( Prelegeri populare de matematică ).
Mihailov, I. Despre analiza diofantină , Kvant . - 1980. - Nr 6 . - S. 16-17,35 .
Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante: Lecture historique et mathématique , Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2013.
Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique : D'Abū Kāmil à Fermat , Berlin, New York : Walter de Gruyter.
Serpinsky VN Despre soluția ecuațiilor în numere întregi . - M. : Fizmatlit, 1961. - 88 p.
Stepanov S. A. Ecuații diofantine // Tr. MIAN URSS. - 1984. - T. 168 . — p. 31–45 .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .