Teorema lui Mori

Legea lui Morrie este un nume aleatoriu pentru următoarea identitate trigonometrică

\cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8)).

Acesta este un caz special al identităţii mai generale

2^{n}\cdot \prod _{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\ alfa )}{\sin(\alpha )))

la n = 3 și α = 20°. „Teorema lui Mori” și-a primit numele de la Richard Feynman , care a folosit această identitate sub acest nume. Feynman a folosit acest nume pentru că, în copilărie, a aflat identitatea specificată de la un băiat pe nume Maury Jacobs și, ulterior, și-a amintit teorema pentru tot restul vieții sub acest nume. [unu]

O relație similară pentru sinus este de asemenea valabilă:

\sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8 }}

Mai mult, împărțind a doua identitate la prima, obținem identitatea pentru tangentă:

\operatorname {tg} (20^{\circ })\cdot \operatorname {tg} (40^{\circ })\cdot \operatorname {tg} (80^{\circ })={\sqrt {3}}=\operatorname {tg} (60^{\circ }).

Dovada

Folosim formula binecunoscută pentru sinusul unui unghi dublu

\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha).

Exprimând de aici , obținem $\cos(\alpha )$

\cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha ))).

Atunci noi avem

{\begin{aliniat}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\\[6pt]\cos(4\alpha ) &={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{{n-1 }}\alpha )&={\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).\end{aliniat} }

Înmulțind, respectiv, părțile din stânga acestor egalități una pe alta și părțile din dreapta - una pe cealaltă, obținem:

\cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{{n-1}}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )} {2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{ 2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).

După reducerea fracțiilor, va exista un sinus de la ultimul numărător și un sinus de la primul numitor, precum și 2 la puterea lui n la numitor:

\prod _{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{ n}\sin(\alpha )}},

Această identitate este forma generală a teoremei lui Mori.

Note

↑ W. A. Beyer, J. D. Louck și D. Zeilberger , A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life , Math. Mag. 69, 43-44, 1996.

Link -uri

Weisstein, Legea lui Eric W. Morrie (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .