Identități trigonometrice

Identitățile trigonometrice sunt expresii matematice pentru funcții trigonometrice care sunt valabile pentru toate valorile argumentului (din domeniul general al definiției ). În acest articol, sunt date numai identități cu funcții trigonometrice de bază, dar există și identități pentru funcții trigonometrice rar utilizate .

Formule trigonometrice de bază

Nu.	Formulă	Valori valide ale argumentelor
1.1	$\operatorname {sin}^{2}\alpha +\operatorname {cos}^{2}\alpha =1$	$\forall \alpha$ (adică orice valoare a lui α )
1.2	$\operatorname {tg}^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec}^{2}\alpha$	$\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n$ la $n\in \mathbb {Z}$
1.3	$\operatorname {ctg}^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec}^{2}\alpha$	$\alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
1.4	$\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1$	$\alpha \neq {\frac {\pi n}{2}),\quad n\in \mathbb {Z}$

Formula (1.1) este o consecință a teoremei lui Pitagora .
Formulele (1.2) și (1.3) se obțin din formula (1.1) prin împărțirea la și, respectiv. $\cos ^{2}\alpha$ $\sin ^{2}\alpha$
Formula (1.4) rezultă din definițiile tangentei și cotangentei.

Formule pentru adăugarea și scăderea argumentelor

Nu.	Argumentează formulele de adunare și scădere
2.1	$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
2.2	$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
2.3	$\operatorname {tg}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg}\alpha \pm \operatorname {tg}\beta }{1\mp \operatorname {tg}\alpha \operatorname {tg}\beta }}$
2.4	$\operatorname {ctg}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg}\alpha \operatorname {ctg}\beta \mp 1}{\operatorname {ctg}\beta \pm \operatorname {ctg}\alpha }}$

Formula (2.3) se obține prin împărțirea (2.1) la (2.2) , iar formula (2.4) se obține prin împărțirea (2.2) la (2.1) .

Derivarea formulelor pentru

\sin(\alpha +\beta),\ \cos(\alpha +\beta)

Pe Fig. 1 prezintă patru triunghiuri dreptunghiulare: ABC, ABD, AOC, BOD.

Se accepta ca $AB=1,\angle DAC=\alpha,\angle DAB=\beta ;$

Prin constructie: $\angle ABC=90-\alpha -\beta ;\angle ABD=90-\beta ;$

Apoi: $\angle OBD=\angle ABD-\angle ABO=\alpha ;$

Din triunghiul ABD:

BD=\sin \beta ;AD=\cos \beta ;

Din triunghiul BOD:

OB={\frac {BD}{\cos \alpha }}={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha ));

OD=OB\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha ))

Deoarece O se află pe segmentul AD:

AO=AD-OD=\cos \beta -{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha ))={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \ beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}

Apoi imediat:

\cos(\alpha +\beta)=AC=AO\cdot \cos \alpha =\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta

Din triunghiul AOC:

OC=AO\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alfa}}

Prin urmare:

\sin(\alpha +\beta)=BC=OB+OC={\frac {\sin \beta}}{\cos \alpha ))+{\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \ alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}=

\sin \alpha \cdot \cos \beta +{\frac {\sin \beta \cdot (1-\sin ^{2}\alpha )}{\cos \alpha ))=\sin \alpha \ cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta

Q.E.D .

Formule cu unghi dublu și jumătate de unghi

Formulele cu unghi dublu sunt derivate din formulele (2.1) - (2.4) dacă β este egal cu α :

Nu.	Formule cu unghi dublu
3.1	$\operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }\ {\cos \alpha }={\frac {2\operatorname {tg} \alpha {1+\operatorname {tg} ^{ 2}\alpha}}$
3.2	$\operatorname {cos}2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }$ $\operatorname {cos}2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }$
3.3	$\operatorname {tg}2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg}\alpha }{1-\operatorname {tg}^{2}\alpha }}$
3.4	$\operatorname {ctg}2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg}^{2}\alpha -1}{2\operatorname {ctg}\alpha }}$

Note

pentru formula : $\operatorname {tg}2\alpha$

$\alpha \not ={\frac {\pi }4}+{\frac {\pi }2}n,n\in {\mathbb Z},$
$\alpha \not ={\frac {\pi }2}+\pi n,n\in {\mathbb Z},$

pentru formula : $\operatorname {ctg}2\alpha$ $\alpha \not ={\frac {\pi }2}+\pi n,n\in {\mathbb Z}.$

Din formula unghiului dublu pentru cosinus (3.2), se derivă formulele pentru jumătate de unghi:

Nu.	Formule cu jumătate de unghi
3.5	$\sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2)}$
3.6	$\cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2)}$
3.7	$\operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }$

Formule cu unghi triplu

Formulele cu unghi triplu sunt derivate din formulele (2.1) - (2.4) dacă β este egal cu 2α:

Nu.	Formule cu unghi triplu
4.1	$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha$
4.2	$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha$
4.3	$\operatorname {tg}3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg}\alpha -\operatorname {tg}^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg}^{2}\alpha } }$
4.4	$\operatorname {ctg}3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg}\alpha -\operatorname {ctg}^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg}^{2}\alpha } }$

Note

pentru formula : pentru formula : ; $\operatorname {tg}3\alpha$ $\alpha \not ={\frac {\pi }6}+{\frac {\pi }3}n,n\in {\mathbb Z}$
$\operatorname {ctg}3\alpha$ $\alpha \not ={\frac {\pi }3}n+\pi n,n\in {\mathbb Z}$

Formule de reducere

Formulele de reducere a gradului sunt derivate din formulele (3.2) :

Nu.	Sinusul	Nu.	Cosinus
5.1	$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$	5.5	$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$
5.2	$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4))$	5.6	$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4))$
5.3	$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8))$	5.7	$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8))$
5.4	$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16))$	5.8	$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16))$

Nu.	Muncă
5.9	$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}$
5.10	$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32))$
5.11	$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128))$
5.12	$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512))$

Formule pentru transformarea produsului funcțiilor

Nu.	Formule de conversie a funcțiilor
6.1	$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2))$
6.2	$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2))$
6.3	$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2))$

Derivarea formulelor pentru transformarea produselor de funcții

Formulele de transformare a produsului de funcții sunt derivate din formulele de adăugare a argumentelor (2.1) și (2.2). De exemplu, din formula (2.1) rezultă:

\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \ alpha\sin\beta=

=2\sin \alpha \cos \beta

Acesta este:

\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2))

este formula (6.2).

Formulele rămase pentru transformarea produselor funcțiilor sunt derivate în mod similar.

Formule pentru transformarea sumelor de funcții

Nu.	Formule de conversie a sumei funcțiilor
7.1	$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2))\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2))$
7.2	$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2))\cos {\frac {\alpha -\beta }{2))$
7.3	$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2))\sin {\frac {\alpha -\beta }{2))$
7.4	$\operatorname {tg}\alpha \pm \operatorname {tg}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta ))$
7.5	$\operatorname {ctg}\alpha \pm \operatorname {ctg}\beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta ))$

Derivarea formulelor de transformare a sumei funcţiilor

Formulele de transformare a sumei funcțiilor sunt derivate din formulele de transformare a produselor funcțiilor (6.1)–(6.3) folosind substituția:

\alpha ={\frac {\alpha '+\beta '}{2))

și

\beta ={\frac {\alpha '-\beta '}{2))

Să substituim aceste expresii în formula (6.1):

\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}={\frac {\cos \beta '-\cos \ alfa „}{2}}

, acesta este

\cos \alpha '-\cos \beta '=-2\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}

— omițând numerele prime, obținem formula (7.3).

Formulele rămase pentru transformarea sumei sinusului și cosinusului sunt derivate în mod similar. Din formula (2.3) rezultă:

\operatorname {tg}\alpha +\operatorname {tg}\beta =\operatorname {tg}(\alpha +\beta )(1-\operatorname {tg}(\alpha )\operatorname {tg}(\beta )) =

={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta ))

={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta}}

, acesta este

\operatorname {tg}\alpha \pm \operatorname {tg}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta ))\qquad \qquad

este formula (7.4).

Transformarea sumei sinusurilor a 3 unghiuri diferite într-un produs la $\alpha +\beta +\gamma =360^{\circ }\colon$

\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha}}}\sin {\frac {\beta} {2}}\sin {\frac {\gamma }{2))

(7,6).

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple

$\sinx=a.$

Dacă — nu există soluții reale.

|a|>1

Dacă - soluția este un număr de forma unde

|a|\leqslant 1

x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n,

n\in \mathbb {Z} .

$\cosx=a.$

Dacă — nu există soluții reale.

|a|>1

Dacă - soluția este un număr al formei

|a|\leqslant 1

x=\pm \arccos a+2\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

$\operatorname {tg} \,x=a.$

Soluția este un număr de formă

x={\text{arctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

$\operatorname {ctg} \,x=a.$

Soluția este un număr de formă

x={\text{arcctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

Substituție trigonometrică universală

Identitățile de mai jos au sens doar atunci când tangenta are sens (adică când ). $\alpha \neq \pi +2\pi n$

$\sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2))))$	$\cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg}^{{2}}{\ frac {\alpha }{2))))$
$\operatorname {tg}\,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg}^{{2 }}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\operatorname {ctg}\,\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg}} \,{\frac {\alpha }{2))))$
$\sec \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg}^{{2}}{\ frac {\alpha }{2))))$	$\csc \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2)}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\ frac {\alpha }{2}}}}}$

Relații similare sunt valabile pentru cotangentă ( ): $\alpha \neq 2\pi n$

$\sin \alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{1+{\text{ctg}}^{2}{\ frac {\alpha }{2}}}}}$	$\cos \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}} -1}{{\text{ctg}}^{2}{ \frac {\alpha }{2}}+1}}$
${\text{tg}}~\alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{ 2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}$	${\text{ctg}}~\alpha ={\frac ({\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{2~{\text{ ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sec \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{{\text{ctg}}^{2}{ \frac {\alpha }{2}}-1}}$	$\csc \alpha ={\frac {1+{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2~{\text{ctg}}~{\ frac {\alpha }{2}}}}}$

Argument auxiliar (formule pentru adăugarea vibrațiilor armonice)

Suma a două oscilații armonice cu aceeași frecvență va fi din nou o oscilație armonică. În special,

a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\varphi ),

unde și nu sunt egale cu zero în același timp, este unghiul, numit argument auxiliar, care poate fi găsit din sistemul de ecuații: $a,b\in \mathbb {R} ,$ $A$ $b$ $\varphi$

\left\{{\begin{matrix}\sin \varphi ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}),\\\cos \varphi = {\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2)))).\end{matrice}}\right.

Notă . Din sistemul de mai sus rezultă că , cu toate acestea, nu se poate presupune întotdeauna că (mai multe detalii aici ). Este necesar să se țină cont de semne și să se determine cărui sfert îi aparține unghiul $a\neq 0$ $\mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\tfrac {b}{a}}$ $\varphi ={\text{arctg}}~{\tfrac {b}{a}}$ $A$ $b,$ $\varphi.$

Reprezentarea funcțiilor trigonometrice în formă complexă

Formula lui Euler afirmă că pentru orice număr real este valabilă următoarea egalitate: $X$

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

unde este baza logaritmului natural , $e$

i

este unitatea imaginară .

Folosind formula Euler, puteți defini funcțiile și după cum urmează: $\sin x$ $\cos x$

\sin x={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{{ix}}+ e^{{-ix}}}{2}}.

De aici rezultă că

\operatorname {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \ qquad \operatorname {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},

\sec x={\frac {2}{e^{{ix}}+e^{{-ix}}}},\qquad \qquad \operatorname {cosec}\,x={\frac {2i}{ e^{{ix}}-e^{{-ix}}}}.

Toate aceste identități pot fi generalizate analitic la orice valori complexe.

Vezi și

Trigonometrie
General	Prezentare generală a trigonometriei Poveste Utilizare Funcții Verso Folosit rar Trigonometrie generalizată
Director	Identități Constante exacte Mese cerc unitar
Legi și teoreme	Teorema sinusului teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema tangentei Teorema cotangentei Rezolvarea triunghiurilor
Analiza matematică	Substituția trigonometrică Integrale ( funcții inverse ) Derivate