Teorema lui Prohorov

Teorema lui Prohorov leagă densitatea uniformă a măsurilor de compactitatea relativă (și, prin urmare, convergența slabă) în spațiul măsurilor de probabilitate. Numit după Yuri Vasilievich Prokhorov , care a luat în considerare măsurile de probabilitate pe spații metrice separabile complete. Termenul de teoremă lui Prohorov este aplicabil și la variațiile și generalizările acestei teoreme.

Formulare

Fie un spațiu metric separabil . Se notează cu spațiul tuturor măsurilor de probabilitate definite pe algebra sigma Borel . Apoi $S$ ${\mathcal {P}}(S)$ $S$

Setul de măsuri de probabilitate este uniform dens dacă și numai dacă închiderea este secvenţial compactă în spațiul echipat cu topologia convergenței slabe . $K\subset {\mathcal {P}}(S)$ $K$ ${\mathcal {P}}(S)$
Un spațiu cu topologia convergenței slabe este metrizabil. ${\mathcal {P}}(S)$
În plus, să presupunem că este complet (cu alte cuvinte, spațiul polonez ). Apoi, există o metrică completă pe , care definește topologia convergenței slabe. Mai mult, o submulțime este uniform densă dacă și numai dacă închiderea este compactă. $(S,\rho )$ $S$ $d$ ${\mathcal {P}}(S)$ $K\subset S$ $K$ $({\mathcal {P))(S), d)$