Teorema Paley-Wiener

Teorema Paley-Wiener este mulțimea tuturor funcțiilor întregi de tip exponențial , pentru care coincide cu mulțimea funcțiilor care admit reprezentare , unde . $f(z)$ $\leq \sigma$ $\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}dx<\infty$ $f(z)$ $f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\sigma }^{+\sigma }e^{izu}\phi (u)du$ $\phi (u)\in L^{2}(-\sigma ,+\sigma )$

Explicații

O întreagă funcție de tip exponențial este o întreagă funcție care, pentru oricare, satisface o inegalitate de forma , unde numerele A, B nu depind de z. Tipul exponențial al unei funcții este cea mai mică limită inferioară pentru valorile constantei B pentru care este valabilă această inegalitate. Tipul exponențial se găsește prin formula . Înțelegeți mulțimea tuturor funcțiilor măsurabile în interval , al căror pătrat al modulului este integrabil în sensul lui Lebesgue . $f(z)$ $z$ $|f(z)|\leq Ae^{B|z|}$ $f(z)$ $\sigma ={\bar {\lim _{|z|\to \infty ))}{\frac {ln|f(z)|}{|z|}}$ $L^{2}(-\sigma ,+\sigma )$ $(-\sigma,+\sigma)$

Teorema Paley-Wiener-Schwartz pentru funcții generalizate

Dacă o funcție generalizată este concentrată în regiune , atunci transformata sa Fourier este o întreagă funcție analitică de ordinul I de creștere și tip . În schimb, să fie o întreagă funcție analitică de ordinul 1 de creștere și tip , care crește nu mai repede de un anumit grad de , și să fie funcționala corespunzătoare acestei funcție în spațiu . Apoi transformata Fourier a funcționalei este concentrată în domeniul . $F$ $G_{b}:|x|\leq b$ $\leq b$ $f(z)=f(z_{1},...z_{n})$ $\leq b$ $|x|\to \infty$ $|x|^{q)$ $(f,\phi)=\int f(x)\phi (x)dx$ $Z$ ${\pălărie {f)}$ $f$ $G_{b)$

Vezi și

Literatură

Norbert Wiener „Sunt matematician”, M., 1964, 356 pagini, poligon. 50.000 exemplare, B 48 51 (09) UDC 510 (092), cap. 8 Acasă Again 1932-1933, p. 160-168;
Viner N. , Paley R. „Transformarea Fourier în domeniul complex”, M., Nauka, 1964;
N. I. Akhiezer „Prelegeri despre teoria aproximării”, ed. 2, M., Nauka, 1965, 517,2 A 95 UDC 517,51, cap. 4 „Câteva proprietăți extreme ale funcțiilor întregi de tip exponențial”, p. 82 „Teorema Wiener-Paley”, p. 179-82;
„Analiza funcțională”, ed. 2, ed. S. G. Kerin , cap. 10 „Funcții generalizate”, articolul 4 „Transformarea Fourier a funcțiilor generalizate”, articolul 7 „Teorema Paley-Wiener-Schwartz”, p. 511;