Functie intreaga

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 31 iulie 2017; verificările necesită 3 modificări .

O funcție întreagă este o funcție care este regulată în întregul plan complex . Un exemplu tipic al unei întregi funcții este un polinom sau un exponent , precum și sumele, produsele și suprapunerea acestor funcții. Seria Taylor a unei intregi functii converge in intregul plan al variabilei complexe. Logaritmul , rădăcina pătrată nu sunt funcții întregi.

Rețineți că o întreagă funcție poate avea o singularitate (inclusiv chiar și o singularitate esențială ) la infinit. După cum rezultă din teorema lui Liouville , o funcție care nu are puncte singulare în întregul plan complex extins trebuie să fie constantă (această proprietate poate fi folosită pentru a demonstra teorema fundamentală a algebrei într-un mod elegant ).

O întreagă funcție având un pol la infinit trebuie să fie un polinom. Astfel, toate funcțiile întregi care nu sunt polinoame (în special, identic constante) au un punct esențial singular la infinit. Astfel de funcții sunt numite funcții întregi transcendentale .

Mica teoremă a lui Picard întărește în mod semnificativ teorema lui Liouville: o întreagă funcție care nu este constantă identic preia toate valorile complexe, cu excepția posibilului una. Un exemplu este funcția exponențială, care ia ca valori toate numerele complexe, cu excepția zero.

J. Littlewood într-una dintre cărțile sale indică funcția sigma Weierstrass ca un exemplu „tipic” al unei întregi funcții.

Cazul mai multor variabile complexe

O întreagă funcție poate fi considerată în . fie un multi-index , $\mathbb {C} ^{n}$ $k$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$

Conceptul de convergență în serie

$\sum _{|k|=0}^{\infty }a_{k}z^{k}(*)$

depinde de metoda de enumerare a termenilor, prin urmare, vorbind de convergența acestei serii, ne referim la convergența absolută : $\sum _{|k|=0}^{\infty }|a_{k}||z^{k}|<\infty$

Astfel, dacă seria (*) converge în , atunci funcția reprezentată de această serie se numește întreagă. $\mathbb {C} ^{n}$

Descompunerea într-un produs infinit

La fel cum funcțiile meromorfe pot fi privite ca o generalizare a fracțiilor raționale, funcțiile întregi pot fi privite ca o generalizare a polinoamelor. În special, dacă pentru funcțiile meromorfe se poate generaliza descompunerea în fracții simple ( teorema Mittag-Leffler privind descompunerea unei funcții meromorfe ), atunci pentru funcții întregi există o generalizare a factorizării - teorema Weierstrass pe funcții întregi .

Spațiu de funcții întregi

Toate funcțiile întregi formează un spațiu liniar . Spațiul funcțiilor întregi este notat ca (din cuvântul întreg ) și pentru cazul . $E$ $E_{n}$ $C^{n)$

(În literatura mai nouă, spațiul funcțiilor întregi este notat $H$ )

Ordinea unei intregi functii

Lăsa $M(r)=\max _{|z|=r}\left|f(z)\right|$

O funcție întreagă se numește o funcție întreagă de ordin finit dacă există astfel încât inegalitatea asimptotică (*) $f(x)$ $\mu>0$ $M(r)<\exp(r^{\mu })$

Ordinea unei intregi functii este numarul $f(z)$ $\rho \geq 0:$ $\rho =\inf \left\{\mu \right\)$

Pentru o întreagă funcție care are o ordine finită și un gen , următoarea relație este adevărată: . De fapt, caracterul finit al uneia dintre caracteristici implică caracterul finit al celui de-al doilea. $p$ $q$ $p\leq q\leq p+1$

Tipul unei întregi funcții

O întreagă funcție este de tip finit la ordinul dacă , care $f(z)$ $\rho$ $\exists a>0$

M(r)<_{ac.}e^{ar^{\rho ))

Tipul întregii funcții , atunci când este comandat , este un număr : $f(z)$ $\rho$ $\sigma \geq 0$

\sigma =\inf \left\{a>0:M(r)<_{ac.}e^{ar^{\rho }}\right\}

din definitie rezulta ca:

\sigma =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(M(r))}{r^{\rho }}}.

Dacă pentru un anumit tip este infinit, atunci spunem că tipul maxim. $0<\rho <\infty$ $f(z)$ $f(z)$
Dacă , atunci este de tip normal. $0<\sigma <\infty$ $f(z)$
Dacă , atunci este de tip minim. $\sigma=0$ $f(z)$

O întreagă funcție de tip exponențial

O întreagă funcție de ordin și tip normal se numește o funcție întreagă de tip exponențial. $\rho=1$

Spațiul e.f.e.t. adesea denumită . $P$

Funcția asociată Borel

Lasă c.f.e.t. este prezentat sub forma:

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!)}}z^{k}

Fiecare c.f.e.t. funcția este atribuită:

\gamma (t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{t^{k+1)))

funcția se numește Borel asociat. Această serie converge la , și există cel puțin o singularitate a funcției la graniță $\gamma (z)$ $|t|>\sigma$ $\gamma (t)$