Teorema punctului de inflexiune a lui Rayleigh

Teorema lui Rayleigh este o afirmație în hidrodinamică , conform căreia pentru un flux plan-paralel pentru dezvoltarea instabilității , condiția necesară este prezența unui punct de inflexiune în profilul curgerii. Teorema a fost obținută de Rayleigh în aproximarea unui fluid ideal.

Enunțul principal al teoremei contrazice în mod evident faptele experimentale. În particular, un profil de viteză parabolic este realizat în curgerea Poiseuille, care nu are puncte de inflexiune; cu toate acestea, instabilitatea unui astfel de flux este de asemenea posibilă .

Dovada

Considerarea perturbațiilor unui flux staționar plan-paralel (în coordonate ) a unui fluid vâscos sub presupunerea că acestea au forma , într-o aproximare liniară conduce la ecuația Orr-Sommerfeld . Neglijând vâscozitatea ( ) dă ecuația Rayleigh: $(x,z)$ $f(z){\text{e}}^{ikx}$ ${\text{Re}}\rightarrow \infty$

\left(\lambda +ikU\right)\nabla ^{2}w-ikwU''=0,

\nabla ^{2}={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}-k^{2},

unde sunt amplitudinea, rata de creștere complexă și, respectiv, numărul de undă al perturbației; este profilul de viteză al curgerii plan-paralel; este operatorul Laplace pentru perturbații normale. În comparație cu ecuația originală de ordinul al patrulea, aici ordinea problemei este redusă la a doua, ceea ce necesită ajustarea condițiilor la limită. Pentru un canal cu pereți plini, condiția anti-alunecare este în mod evident înlocuită cu condiția de impermeabilitate: $w,\lambda =\sigma +i\omega,k$ $U=U(z)$ $\nabla ^{2}$

w\vert _{z=0,h}=0

Împărțim ecuația la , înmulțim cu amplitudinea complexă conjugată a perturbației și integrăm pe lățimea canalului: $\stanga(\lambda +ikU\dreapta)$ $w^{\ast }$

\int \limits _{0}^{h}w^{\ast }\nabla ^{2}wdz=ik\int \limits _{0}^{h}{\frac {U''\ vert w\vert ^{2}}{\left(\lambda +ikU\right)}}dz.

Transformarea părții stângi (ținând cont de condițiile la limită pentru ecuația Rayleigh)

{\begin{aligned}&\int w^{\ast }\nabla ^{2}wdz=\int w^{\ast }w''dz-k^{2}\int \vert w\ vert ^{2}dz=\\&=w^{\ast }w'\vert _{0}^{h}-\int \vert w'\vert ^{2}dz-k^{2}\ int \vert w\vert ^{2}dz=-\int \vert w'\vert ^{2}dz-k^{2}\int \vert w\vert ^{2}dz.\end{aligned} }

arată că este o expresie semn-definită și reală. Prin urmare, în dreapta, partea imaginară a expresiei trebuie să fie egală cu zero. Să-l selectăm:

{\begin{aliniat}&ik\int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\left(\lambda +ikU\right)))dz=ik\int {\frac {U''\left(\lambda ^{\ast }-ikU\right)\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz=\\&= ik\lambda ^{\ast }\int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz+k^{2}\ int {\frac {U''U\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz.\end{aligned}}

Ținând cont de , obținem: $\lambda =\sigma +i\omega$

k\sigma \int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz=0.

Există două posibilități aici. În primul rând, , corespunzătoare perturbațiilor neutre. Cu toate acestea, aceasta nu conține nicio informație despre stabilitate, deoarece amplitudinea unei astfel de perturbări nu se modifică în timp. Prin urmare, presupunem că integrala este egală cu zero. Cu toate acestea, în integrand, toate valorile, cu excepția , sunt pozitive. Egalitatea necesită o schimbare a semnului în interiorul canalului, prin urmare, există cel puțin un punct de inflexiune, unde . $\sigma =0$ $U''$ $U''$ $U''=0$

Aplicabilitate

Evident, teorema lui Rayleigh nu este întotdeauna adevărată. În primul rând, influența termenului vâscos poate fi semnificativă chiar și la numere Reynolds mari, datorită valorii mari a derivatei a patra.

Totuși, afirmația teoremei este foarte generală. Studiile experimentale și numerice arată că, deși instabilitatea este posibilă chiar și în absența unui punct de inflexiune, nu s-au găsit debite absolut stabile cu puncte de inflexiune.

Vezi și

Literatură

Lin Chia Chiao . Teoria stabilității hidrodinamice. Moscova: Literatură străină, 1958.