Teorema de rotație a nodului lui Fari-Milnor

Teorema Fary-Milnor afirmă că variația de rotație a oricărui nod depășește .

Istorie

Întrebarea a fost formulată de Karol Borsuk și demonstrată independent de trei matematicieni: Istvan Fary , Heinz Hopf în 1949 și John Milnor în 1950 . Heinz Hopf nu și-a publicat dovada. Această dovadă este dovedită de remarca adăugată de Istvan Fari la dovezile articolului său. Se spune că Hopf a folosit lucrarea lui Erkika Panwitz despre existența unei linii care intersectează nodul în patru puncte.

Formulare

Fie un nod în spațiul euclidian tridimensional. Daca variatia de rotatie nu depaseste , atunci nodul este banal .

În special, dacă  este un nod neted și este curbura lui în punctul , atunci

implică faptul că nodul este banal .

Despre dovezi

Dovada lui Milnor se bazează pe o variantă a formulei lui Crofton pentru variarea virajului unei curbe și pe simplul fapt că proiecția unui nod pe orice linie are cel puțin 4 puncte de cotitură. Dovada lui Farey este mai complicată, folosește și un analog al formulei lui Crofton pentru variația rotației unei curbe și faptul nebanal că variația rotației proiecției unui nod pe orice plan nu este mai mică de .

Dovada lui Alexander și Bishop este mai elementară, nu folosește formulele lui Crofton și se bazează pe utilizarea repetată a faptului că variația de rotație a unei polilinii înscrise nu depășește variația de rotație a unei curbe.

O altă dovadă se bazează pe existența unei secante cvadruple alternante. Adică, pentru orice nod, puteți găsi o linie care o intersectează în patru curenți care apar pe linie în aceeași ordine, iar pe curbă în ordine . [1] Aparent, aceasta este dovada găsită, dar nu publicată de Heinz Hopf.

Există, de asemenea, o dovadă bazată pe utilizarea suprafețelor minime, se bazează pe faptul că, dacă rotația curbei nu depășește , atunci discul cu limita pe curbă minimizând aria este imbricat. [2]

Variații și generalizări

Vezi și

Note

  1. ↑ Denne, Elizabeth Jane (2004), Alternating quadrisecants of knots , Ph.D. teză, Universitatea din Illinois la Urbana-Champaign  .
  2. ↑ Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Embeddedness of minimal surfaces with total boundary curture at maximum 4π   // Ann . Matematică.. - 2002. - P. 209–234 . Arhivat din original pe 15 februarie 2022.
  3. ↑ Alexander, Stephanie B.; Bishop, Richard L. Teorema Fary–Milnor în varietățile Hadamard   // Proc . amer. Matematică. Soc.. - 1998. - Vol. 126 , nr. 11 . — P. 3427–3436 .

Literatură