Teorema Fermat-Euler

Teorema Fermat-Euler (alte denumiri sunt Teorema lui Fermat de Crăciun , teorema reprezentării numerelor prime ca sumă a două pătrate ) arată [1] :

Orice număr prim , unde este un număr natural , poate fi reprezentat ca suma pătratelor a două numere naturale. $p=4n+1$ $n$

Cu alte cuvinte,

p\in \mathbb {P} ,p=4n+1,n\in \mathbb {N} \Rightarrow p=x^{2}+y^{2},

unde este un număr prim. $p$

În literatura străină, această afirmație este adesea numită teorema de Crăciun a lui Fermat , așa cum a devenit cunoscută dintr-o scrisoare trimisă de Pierre Fermat la 25 decembrie 1640.

Exemple:

5=1^{2}+2^{2}

, , , , , .

13=2^{2}+3^{2}

17=1^{2}+4^{2}

29=2^{2}+5^{2}

37=1^{2}+6^{2}

41=4^{2}+5^{2}

Din această afirmație, folosind identitatea Brahmagupta , se deduce o afirmație generală:

Un număr natural poate fi reprezentat ca o sumă a două pătrate (numere întregi) dacă și numai dacă niciun număr prim al formei nu este inclus în descompunerea sa în factori primi într-un grad impar. $4k+3$

Uneori, acest fapt este înțeles prin teorema Fermat-Euler.

Istorie

Această afirmație a fost descoperită pentru prima dată de Albert Girard în 1632 . Pierre Fermat a anunțat în scrisoarea sa către Mersenne ( 1640 ) că a demonstrat această teoremă, dar nu a oferit o dovadă. 20 de ani mai târziu, într-o scrisoare către Karkavy (datată august 1659), Fermat sugerează că proba se bazează pe metoda coborârii infinite .

Prima dovadă publicată prin metoda descendenței infinite a fost găsită între 1742 și 1747 de Leonhard Euler . Dovezi ulterioare bazate pe alte idei au fost date de Joseph Lagrange , Carl Gauss , Hermann Minkowski , Jakobstahl și Don Zagier . Ultima este o dovadă cu o singură propoziție [2] .

Dovezi

Una dintre cele mai scurte dovezi a fost inventată de matematicianul german Don Zagir [3] :

Involuția multime finită definită ca $S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\)$

$(x,y,z)\rightarrow {\begin{cases}(x+2z,z,yxz),&x<yz\\(2y-x,y,x-y+z),&y-z <x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&x>2y\end{cases}}}$

are exact un punct fix (care este egal cu if , și a cărui unicitate decurge din simplitatea lui ), deci conține un număr impar de elemente, ceea ce înseamnă că involuția are și un punct fix. $(1,1,k)$ $p=4k+1$ $p$ $S$ $(x,y,z)\rightarrow (x,z,y)$

Există și o demonstrație prin teorema lui Wilson , inventată de Axel Thue [4] .

Literatură

Bukhshtab A. A. Teoria numerelor. - M .: Editura educaţională şi pedagogică de stat a Ministerului Educaţiei al RSFSR , 1960. - 375 p.
Senderov V., Spivak A. Sume de pătrate și numere întregi gaussiene // Kvant, nr.3 (1999), p. 14—22.
Dickson LE Istoria teoriei numerelor // Vol. II. — cap. VI. Suma a două pătrate.

Note

↑ Senderov V., Spivak A. Sums of squares and Gaussian integers Arhivat 26 noiembrie 2019 la Wayback Machine // Kvant Arhivat la 11 februarie 2014 la Wayback Machine . - Nr. 3 (1999), p. 14-22.
↑ O dovadă dintr-o propoziție că fiecare prim 4k+1 este o sumă a două pătrate
↑ Rezumatul dovezii lui Don Zagier . Preluat la 13 mai 2011. Arhivat din original la 4 martie 2016. (nedefinit)
↑ Cele două teoreme ale lui Fermat . Preluat la 17 februarie 2020. Arhivat din original la 26 iunie 2019. (nedefinit)